Калькулятор двоичной арифметики с флагами процессора

Как пользоваться

1. Выберите разрядность слова и операцию: сложение, вычитание, умножение, деление или один из трёх сдвигов.
2. Выберите, как читать числа: со знаком — в дополнительном коде, без знака. Ввод десятичных чисел проверяется по диапазону выбранного режима; запись с 0x или 0b задаёт биты слова напрямую.
3. Введите A и B. Для сдвигов вместо B — число разрядов.

Под результатом — таблица флагов двух архитектур, ниже — сложение столбиком с переносами, умножение и деление по шагам (для слов до 16 бит), операнды в двоичном виде, отрицание A и его расширение до вдвое более широкого слова.

Дополнительный код

Слово из n бит без знака хранит числа от 0 до 2ⁿ − 1. В дополнительном коде старший бит имеет вес −2ⁿ⁻¹, и диапазон становится от −2ⁿ⁻¹ до 2ⁿ⁻¹ − 1:

Отрицательное число −x записывается как 2ⁿ − x: биты x инвертируются и к ним прибавляется 1. Удобство этого кода в том, что сложение и вычитание выполняются одной и той же схемой для обоих прочтений. Подробнее — в словаре на странице «Дополнительный код».

Флаги C, V, N, Z

Руководство AVR задаёт флаги логическими формулами от старших бит операндов Rd7, Rr7 и результата R7. Для сложения V = 1, если оба слагаемых одного знака, а результат — другого: Rd7 · Rr7 · ¬R7 + ¬Rd7 · ¬Rr7 · R7. У AVR есть ещё два флага: H — перенос из бита 3 в бит 4 (полуперенос), и S = N ⊕ V — истинный знак результата со знаком, по которому работают BRLT и BRGE.

Arm описывает те же флаги функцией AddWithCarry(): результат складывается дважды — как числа без знака и как числа со знаком, — и C или V ставится, если сумма не равна тому, что поместилось в слово. Обе записи для сложения дают одинаковые N, Z, C и V — это проверяет тест калькулятора на всех 65 536 парах 8-битных чисел.

Вычитание и обратный флаг переноса

Вычитание процессор выполняет сложением: A − B = A + НЕ B + 1. Разница между архитектурами — в том, что попадает во флаг C:

• AVR (SUB, SBC, CP): C = 1, если был заём — вычитаемое без знака больше уменьшаемого. Формула руководства: C = ¬Rd7 · Rr7 + Rr7 · R7 + R7 · ¬Rd7.
• Cortex-M (SUBS, SBCS, CMP): во флаг C пишется перенос сложения A + НЕ B + 1, то есть C = 1, если заёма не было (A ≥ B). Руководство Arm прямо называет этот флаг «NOT borrow».

Например, 3 − 5: на AVR C = 1, на Cortex-M C = 0; 5 − 3 — наоборот. Поэтому одинаковые по смыслу условные переходы смотрят на противоположные значения C: «без знака больше или равно» — BRSH на AVR (переход при C = 0) и BHS на ARM (при C = 1). Для одной команды над словом флаги N, Z и V у двух архитектур совпадают; в многобайтных цепочках флаг Z различается — об этом в следующем разделе.

Многобайтные числа и флаг Z

AVR складывает 16- и 32-битные числа цепочкой: ADD для младшего байта, затем ADC для каждого следующего. ADC ставит Z только по своему байту, поэтому после цепочки Z = 1 означает лишь, что нулевой старший байт: 0x0001 + 0x0000 даёт Z = 1. SBC и CPC устроены иначе — они сохраняют Z предыдущего байта, если их байт нулевой, и после цепочки SUB + SBC флаг Z верен для всего числа. Именно поэтому многобайтное сравнение на AVR пишут как CP + CPC… и проверяют Z.

Cortex-M складывает 64-битные числа парой ADDS + ADCS, вычитает парой SUBS + SBCS, и обе вторые команды ставят Z только по старшему слову. Калькулятор показывает флаги именно этих цепочек. Для 8- и 16-битных чисел у Cortex-M нет команд с флагами: регистры 32-битные, и столбец Cortex-M в этом случае — флаги AddWithCarry() для слова выбранной разрядности, а не результат конкретной команды.

Пример: 100 + 50 в 8 битах

переносы  0 1 1 0 0 0 0 0 0
A           0 1 1 0 0 1 0 0    100
B           0 0 1 1 0 0 1 0     50
сумма       1 0 0 1 0 1 1 0    0x96

Без знака 0x96 = 150 — верный результат, переноса из старшего разряда нет, C = 0. Со знаком оба слагаемых положительные, а старший бит суммы 1: это −106, V = 1, N = 1, S = N ⊕ V = 0 — истинный знак суммы положительный. Этот пример открыт в калькуляторе по умолчанию.

Умножение и деление

Произведение двух n-битных чисел занимает до 2n бит. Команда MUL у AVR умножает 8 × 8 бит и кладёт 16-битный результат в пару R1:R0; флаг C в ней — старший бит произведения, Z — признак нуля всех 16 бит. MULS делает то же для чисел со знаком. Более широкие числа AVR умножает подпрограммой. Cortex-M командой MULS оставляет только младшие 32 бита и ставит по ним N и Z, а C и V не меняет — поэтому переполнение умножения по флагам не определить.

Столбиком двоичное умножение проще десятичного: для каждой единицы множителя копия множимого сдвигается на номер разряда, и эти строки складываются. Деление — обратная процедура: разряды делимого сносятся по одному, и если остаток не меньше делителя, из него вычитается делитель, а в частное записывается 1.

Частное округляется к нулю, остаток имеет знак делимого: −7 / 2 = −3, остаток −1. Так делят язык C и команды SDIV и UDIV Cortex-M. Деление на ноль Cortex-M по умолчанию возвращает 0; если в регистре CCR установлен бит DIV_0_TRP, возникает исключение UsageFault. Единственный случай переполнения при делении — наименьшее отрицательное число на −1: у SDIV, которая работает только с 32-битными регистрами, 0x80000000 / −1 даёт 0x80000000 без всякого признака. В C такое деление в типе int — неопределённое поведение. Операнды int8_t и int16_t перед делением продвигаются до int, поэтому −128 / −1 даёт 128 без ошибки, а при записи результата обратно в узкий тип значение определяется реализацией. Команды деления у AVR нет.

Сдвиги и расширение знака

• Логический сдвиг влево (LSL) умножает на 2ᵏ по модулю 2ⁿ; во флаг C уходит последний выдвинутый бит.
• Логический сдвиг вправо (LSR) делит число без знака на 2ᵏ, отбрасывая остаток; слева вдвигаются нули.
• Арифметический сдвиг вправо (ASR) сохраняет знак — слева вдвигаются копии старшего бита — и делит число со знаком на 2ᵏ с округлением вниз: −5 >> 1 = −3, а не −2, как при делении.

Команды сдвига AVR сдвигают на один разряд; после них V = N ⊕ C. У Cortex-M сдвиг на любое число разрядов — одна команда, и V она не меняет.

При переходе к более широкому слову число со знаком расширяют знаком: старший бит копируется во все новые разряды, и 0xFC (−4) в 16 битах становится 0xFFFC. Число без знака дополняют нулями: 0xFC → 0x00FC. Ошибка в выборе способа — частая причина неверных результатов после приведения типов в C.

Ограничения и типичные ошибки

• Неверный флаг для проверки. Для чисел без знака проверяют C, для чисел со знаком — V или S. Проверка C после сложения чисел со знаком ничего не говорит о переполнении.
• Перенос AVR-кода на ARM и обратно. Условия «выше», «ниже» после вычитания у двух архитектур читают C с противоположным значением. При переносе ассемблерного кода переходы без знака нужно переписать, а не скопировать.
• Z после цепочки ADC. На AVR после сложения многобайтных чисел Z относится только к старшему байту.
• Сдвиг вместо деления. Для отрицательных чисел x >> 1 и x / 2 в C дают разные результаты при нечётном x; кроме того, сдвиг отрицательного числа вправо в C определяется реализацией.

Перевести число между системами счисления и посмотреть его в виде float поможет конвертер систем счисления, разобрать поля регистра — калькулятор битовых масок. Флаги и условные переходы подробно разобраны в справочниках по системе команд AVR и системе команд Thumb-2.