Код Грея: калькулятор и таблица

Как пользоваться

1. Выберите разрядность кода — от 1 до 32 бит — и запись числа: двоичную, десятичную или шестнадцатеричную.
2. Выберите направление: двоичный → Грей, если известно число (номер положения), или Грей → двоичный, если известен прочитанный код.
3. Введите число. При переключении направления результат переносится в поле ввода — так удобно проверять перевод в обе стороны.

Калькулятор показывает результат в двоичном, десятичном и шестнадцатеричном виде, вычисление через XOR, коды соседних позиций и номер бита, который при переходе к ним меняется. Для кода до 8 бит рисуется кодовый диск, до 6 бит — полная таблица; при большей разрядности — 8 позиций до и после выбранной.

Формулы перевода

Пусть b_n−1…b₁b₀ — разряды двоичного числа, g_n−1…g₀ — разряды кода Грея, разряд 0 младший. Прямой перевод — XOR соседних разрядов:

Обратный перевод идёт от старшего разряда: каждый двоичный разряд — XOR всех разрядов кода от старшего до него самого:

Обе формулы — это формулы (1) и (2) из патента Грея, записанные через XOR вместо сложения по модулю 2. Поразрядный обратный перевод требует n − 1 шагов, но его можно ускорить: после g ^= g >> 1 каждый разряд содержит XOR двух соседних, после g ^= g >> 2 — четырёх, и так далее. Поэтому для 32-битного кода хватает пяти сдвигов, для 8-битного — трёх.

Таблица кода Грея на 4 бита

Видно, откуда название «отражённый»: младшие три разряда второй половины таблицы повторяют первую половину в обратном порядке, а старший разряд становится единицей. Так Грей и строил код — из одноразрядного двухразрядный, из него трёхразрядный и далее. Переход от 15 к 0 тоже меняет один разряд — старший, поэтому код замкнут в кольцо.

Где применяется

Абсолютные энкодеры

Абсолютный энкодер выдаёт код угла сразу, без подсчёта импульсов, и помнит положение после выключения питания. Каждый разряд кода снимается с отдельной дорожки диска. Если бы дорожки несли обычный двоичный код, на границе секторов 7 и 8 одновременно переключались бы четыре контакта, а из-за разброса их срабатывания энкодер на мгновение выдавал бы случайные значения — например, 15 или 0. С кодом Грея на каждой границе переключается одна дорожка.

Пример — механический энкодер TT Electronics EN16AB на 16 положений. В даташите приведены состояния четырёх выводов для трёх вариантов: положения в нём пронумерованы с 1, и в варианте 0 выводы 1–4 дают четырёхразрядный код Грея числа «номер положения − 1»: положение 1 — 0000, положение 16 — 1000 (вывод 1 — младший разряд). В варианте 1 — тот же код с обратным порядком выводов, в варианте 2 — обычный двоичный код того же числа. Функция gray_to_bin() вернёт число от 0 до 15; чтобы получить номер по даташиту, прибавьте 1.

Не все абсолютные энкодеры используют именно отражённый двоичный код. Bourns ACE-128 размещает 128 положений на одной кодовой дорожке: соседние состояния у него тоже различаются одним битом, но это другой код, и номер положения получают по таблице на 256 байт из даташита. Как устроены энкодеры, их сигналы и подключение, разобрано в статье «Энкодеры».

Указатели асинхронного FIFO

В FIFO между двумя тактовыми доменами указатель записи нужно передать в домен чтения, а указатель чтения — в домен записи. Многоразрядный двоичный счётчик для этого не годится: если синхронизатор защёлкнет его как раз во время перехода 0111 → 1000, получится произвольное число. Клиффорд Каммингс в статье для SNUG 2002 разбирает решение, ставшее стандартным: счётчик считает в двоичном коде, а в регистр указателя пишется (bin >> 1) ^ bin, который за такт меняет один бит.

У указателей на один бит больше, чем нужно для адреса памяти. FIFO пуст, когда указатели в коде Грея совпадают полностью. FIFO полон, когда у них различаются два старших бита, а остальные совпадают: из-за отражения код позиции k + 2ⁿ⁻¹ отличается от кода позиции k именно двумя старшими разрядами. Калькулятор это наглядно показывает: в таблице 4-битного кода строки 0 и 8, 1 и 9 и так далее отличаются только двумя старшими разрядами.

Код на C

Функции для кода до 32 бит, лежащего в младших разрядах слова:

#include <stdint.h>

static inline uint32_t bin_to_gray(uint32_t b)
{
    return b ^ (b >> 1);
}

static inline uint32_t gray_to_bin(uint32_t g)
{
    g ^= g >> 16;
    g ^= g >> 8;
    g ^= g >> 4;
    g ^= g >> 2;
    g ^= g >> 1;
    return g;
}

Калькулятор выдаёт эти функции под выбранную разрядность: для 8-битного кода — с типом uint8_t и тремя сдвигами. Для энкодера на выводах порта сначала соберите биты в число в правильном порядке (у EN16AB варианта 0 вывод 1 — младший), затем вызовите gray_to_bin() и, если положения в даташите нумеруются с 1, прибавьте единицу. Сами операции XOR и сдвиги разобраны в статье «Битовые операции в C».

Ограничения и типичные ошибки

• Порядок разрядов. Перепутанные выводы энкодера дают не код Грея, а перестановку его разрядов, и переход между соседними положениями уже может менять несколько бит. Сверяйте порядок выводов с таблицей в даташите.
• Арифметика. Коды Грея нельзя складывать и сравнивать как числа: код позиции 7 — 0100 — как число меньше кода позиции 6 — 0101. Для счёта, сравнения и вычисления разности положений переведите код в двоичный — в FIFO так и делают: счётчик двоичный, в код Грея переводится только передаваемое значение.
• Длина цикла. Отражённый код замыкается в кольцо только при числе позиций 2ⁿ. Если сбросить счётчик Грея раньше — например, после 9 для десяти позиций, — переход 9 → 0 изменит больше одного разряда.
• Код Грея не исправляет ошибки. Он гарантирует только, что при правильном переходе меняется один бит; искажённый разряд он не обнаружит. Для защиты данных служат контрольные биты — например, код Хэмминга.

Другие системы счисления и представления того же числа — двоичное, шестнадцатеричное, дополнительный код — показывает конвертер систем счисления, а сложение и вычитание в двоичном виде с флагами процессора — калькулятор двоичной арифметики.