Исключающее ИЛИ (XOR)

Q: Чем XOR отличается от обычного ИЛИ?

Только строкой «1, 1»: обычное ИЛИ даёт в ней 1, исключающее — 0. Поэтому XOR отвечает на вопрос «различаются ли входы», а ИЛИ — «есть ли хотя бы одна единица». Kuphaldt показывает, как получить XOR из ИЛИ: параллельно ИЛИ ставят элемент И-НЕ на те же входы, а их выходы объединяет элемент И. Пока хотя бы один вход равен 0, И-НЕ выдаёт 1 и И пропускает выход ИЛИ; при двух единицах И-НЕ выдаёт 0, и выход И становится нулём.

Исключающее ИЛИ даёт единицу, когда входы различны, и ноль, когда они одинаковы. Эта операция не укладывается в обычные правила булевой алгебры, но без неё не обходятся ни сумматор, ни бит чётности, ни CRC, ни переключение бита в регистре.

Обновлено 1 ноября 2026 г.Редакция GAW

Исключающее ИЛИ (exclusive OR, XOR) — логическая операция и логический элемент, выход которого равен 1, когда входы различны, и 0, когда они одинаковы. Обозначается ⊕. Инверсия XOR — исключающее ИЛИ-НЕ (XNOR) — даёт 1 при одинаковых входах и служит детектором равенства.

A	B	A ⊕ B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Место в булевой алгебре

Kuphaldt подчёркивает: у XOR нет прямого эквивалента среди операций булевой алгебры — сложения, умножения и дополнения, и привычные тождества к символу ⊕ не применяются. Поэтому его записывают через И и ИЛИ:

A \oplus B = A\overline{B} + \overline{A}B

Любое выражение такого вида — два элемента И и один ИЛИ — заменяется одним элементом XOR. У самой операции полезные свойства: A ⊕ 0 = A, A ⊕ 1 = A', A ⊕ A = 0, и она коммутативна и ассоциативна — порядок операндов в цепочке не важен.

Где применяется

Сумматоры. Сумма двух битов — XOR, перенос — И; это полусумматор.
Чётность. XOR всех битов слова равен 1, если единиц нечётное число, — так считается бит чётности.
CRC и скремблеры. Деление полиномов по модулю 2 в CRC сводится к сдвигам и XOR.
Работа с битами. Выражение x ^ mask инвертирует биты по маске; XOR двух слов показывает, какие биты различаются. Маски удобно строить в калькуляторе битовых масок.
Управляемый инвертор. Если на один вход подать сигнал, а на другой — управление, элемент пропускает сигнал прямым при 0 и инвертированным при 1.

Схемы с XOR и их таблицы истинности можно собрать в симуляторе логических схем.

Частые вопросы

Почему XOR называют сложением по модулю 2?

Потому что его таблица совпадает с последним разрядом суммы двух битов: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 10 — младший бит 0. Перенос в старший разряд даёт элемент И. Пара «XOR для суммы, И для переноса» — это полусумматор, с которого начинается любой двоичный сумматор.

Как с помощью XOR переключить бит в регистре?

Применить XOR с маской, где нужный бит равен единице: x ^ (1 << n). Бит, совпадающий с единицей маски, инвертируется, остальные остаются как были, потому что A ⊕ 0 = A. На AVR для порта есть отдельный способ: запись единицы в регистр PINx переключает бит PORTx.

Чем XOR отличается от обычного ИЛИ?