Постоянная времени τ
Постоянная времени — величина, которая задаёт скорость переходных процессов в RC-цепи: за сколько времени зарядится конденсатор, как быстро спадёт ток и на какой частоте RC-фильтр начинает ослаблять сигнал.
Обновлено Редакция GAW
Постоянная времени (time constant, τ) RC-цепи — произведение сопротивления резистора на ёмкость конденсатора:
Ом, умноженный на фарад, даёт секунду: 1 кОм и 1 мкФ — это τ = 1 мс, 10 кОм и 100 мкФ — 1 с. При заряде через резистор напряжение на конденсаторе меняется по экспоненте, и за каждую постоянную времени разница между напряжением источника и напряжением на конденсаторе уменьшается в e ≈ 2,718 раза. Ток заряда спадает по той же экспоненте: через τ остаётся 36,8 % начального тока U / R.
Заряд и разряд по постоянным времени
| Время | Заряд, % от напряжения источника | Разряд, % от начального напряжения |
|---|---|---|
| 1τ | 63,2 | 36,8 |
| 2τ | 86,5 | 13,5 |
| 3τ | 95,0 | 5,0 |
| 4τ | 98,2 | 1,8 |
| 5τ | 99,3 | 0,7 |
Таблица совпадает с данными ARRL и Electronics Tutorials. Время до заданного напряжения, пусковой ток и энергию, которая выделяется в резисторе, считает калькулятор заряда конденсатора.
Где встречается
- Фильтры. Частота среза RC-фильтра нижних или верхних частот — 1 / (2πτ); расчёт звеньев и каскадов — в калькуляторе RC-фильтра.
- Таймеры и задержки. Цепи сброса и времязадающие цепи таймеров, например NE555, отсчитывают время по заряду конденсатора до порогового напряжения.
- Фронты цифровых сигналов. На линии с открытым стоком фронт формирует подтягивающий резистор вместе с ёмкостью линии, и время нарастания пропорционально той же постоянной времени.
Частые вопросы
Почему именно 63,2 %?
Так устроена экспонента: за время τ разница между напряжением источника и напряжением на конденсаторе уменьшается в e ≈ 2,718 раза, то есть остаётся 1/e = 36,8 % от начальной. Пройдено 100 − 36,8 = 63,2 % пути. За каждую следующую τ остаток снова уменьшается в e раз.
Сколько постоянных времени нужно, чтобы конденсатор зарядился полностью?
Строго говоря, бесконечно много: экспонента подходит к напряжению источника асимптотически. На практике считают, что за 5τ конденсатор заряжен — это 99,3 %. Для грубой оценки берут 3τ — это 95 %.
Как связаны постоянная времени и частота среза RC-фильтра?
Частота среза RC-фильтра первого порядка, на которой сигнал ослабляется на 3 дБ, равна f = 1 / (2πτ) = 1 / (2πRC). Цепь 10 кОм и 100 нФ имеет τ = 1 мс и частоту среза около 159 Гц. Чем больше постоянная времени, тем ниже частота среза и тем медленнее фильтр реагирует на скачок.
Источники
- L. Ernst (WA2GKH). Capacitor TC Calc, Version 2.1r. ARRL, 2020 — формула заряда и таблица на 1–5 постоянных времени: 63,21; 86,47; 95,02; 98,17; 99,33 %
- Electronics Tutorials. RC Charging Circuit — напряжение и ток при заряде на 0,5–5 RC, ток через τ — 36,8 % начального
- Texas Instruments. Kugelstadt T. Active Filter Design Techniques (SLOA088) — пассивный RC-фильтр нижних частот, частота среза −3 дБ
Нашли ошибку?