Калькулятор RC-фильтра: частота среза и постоянная времени

RC-фильтр первого порядка — резистор и конденсатор, включённые делителем напряжения. Сопротивление конденсатора падает с ростом частоты, поэтому коэффициент передачи цепи тоже зависит от частоты. Границу между пропускаемыми и подавляемыми частотами задаёт частота среза f_ср = 1 / (2πRC): например, 10 кОм и 10 нФ дают 1,59 кГц. Та же пара определяет постоянную времени τ = RC = 100 мкс: за это время конденсатор заряжается через резистор до 63,2 % от напряжения источника, а за 5τ — до 99,3 %.

Как пользоваться калькулятором

Фильтр — выберите тип фильтра и введите R и C. Калькулятор покажет частоту среза, постоянную времени и время нарастания, а если указать частоту сигнала — ослабление в децибелах и сдвиг фазы на ней. В блоке «Источник и нагрузка» задаются выходное сопротивление источника и сопротивление нагрузки: калькулятор пересчитает частоту среза и передачу в полосе пропускания.
Подбор R или C — задайте нужную частоту среза и известный элемент. Калькулятор рассчитает второй, округлит его до ряда E6–E96 и покажет фактическую частоту для соседних номиналов.
Заряд и разряд — задайте R, C и напряжение. Калькулятор найдёт время до нужного уровня в процентах или вольтах, напряжение в заданный момент и значения через τ, 2τ … 5τ.

Номиналы вводятся в инженерной записи: 4k7 или 4,7k — 4,7 кОм, 100n — 100 нФ, 2u2 — 2,2 мкФ, 1M — 1 МГц, 1m — 1 мс.

Схемы ФНЧ и ФВЧ

RC-фильтры первого порядка: в ФНЧ резистор включён последовательно, а конденсатор — на общий провод, в ФВЧ — наоборот

Обе цепи — делители напряжения, в которых одно плечо — конденсатор с реактивным сопротивлением X_C = 1 / (2πfC). На низких частотах X_C велико: в ФНЧ конденсатор почти не шунтирует выход, и сигнал проходит без ослабления, а в ФВЧ он почти разрывает цепь. На высоких частотах всё наоборот. Частота среза — та, на которой X_C равно R.

Частота среза, ослабление и фаза

Передаточная функция ФНЧ — отношение сопротивления конденсатора Z_C = 1 / (jωC) к полному сопротивлению делителя:

H(j\omega) = \frac{Z_C}{R + Z_C} = \frac{1}{1 + j\omega RC}

Модуль знаменателя равен √2 при ωRC = 1 — это и есть частота среза:

f_\text{ср} = \frac{1}{2\pi RC}

Модуль коэффициента передачи и сдвиг фазы ФНЧ на частоте f:

|H| = \frac{1}{\sqrt{1 + (f/f_\text{ср})^2}}

\varphi = -\operatorname{arctg}\frac{f}{f_\text{ср}}

У ФВЧ резистор и конденсатор меняются местами:

|H| = \frac{f/f_\text{ср}}{\sqrt{1 + (f/f_\text{ср})^2}}

\varphi = 90^\circ - \operatorname{arctg}\frac{f}{f_\text{ср}}

Коэффициент передачи в децибелах — 20 · lg |H|. На частоте среза |H| = 1/√2 ≈ 0,707, то есть −3 дБ, а сдвиг фазы равен −45° у ФНЧ и +45° у ФВЧ. Вдали от частоты среза ослабление растёт на 20 дБ на декаду (6 дБ на октаву): на частоте 10 · f_ср ФНЧ даёт −20,04 дБ и −84,3°, на 100 · f_ср — около −40 дБ.

АЧХ и ФЧХ RC-фильтров: по горизонтали — отношение частоты к частоте среза в логарифмическом масштабе

Постоянная времени и заряд конденсатора

Если подать на RC-цепь скачок напряжения E, конденсатор заряжается по экспоненте с постоянной времени τ = RC:

u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)

При разряде через резистор от начального напряжения U₀ напряжение спадает по такой же экспоненте:

u_C(t) = U_0\, e^{-t/\tau}

Время до уровня получается логарифмированием. Для заряда от нуля до доли p от E и для разряда до доли p от U₀:

t_\text{зар} = \tau \ln\frac{1}{1 - p}, \qquad t_\text{разр} = \tau \ln\frac{1}{p}

Если до начала заряда на конденсаторе уже было напряжение U_нач, время до уровня u считают так (калькулятор учитывает и этот случай):

t = \tau \ln\frac{E - U_\text{нач}}{E - u}

Время	Заряд: напряжение от E	Разряд: остаток от U₀
τ	63,2 %	36,8 %
2τ	86,5 %	13,5 %
3τ	95 %	4,98 %
4τ	98,2 %	1,83 %
5τ	99,3 %	0,674 %

Заряд и разряд конденсатора. Пунктир — касательная к кривой заряда в начальный момент: с начальной скоростью конденсатор зарядился бы до 100 % за время τ

Ступенька на входе ФНЧ превращается на выходе в ту же экспоненту, поэтому частоту среза и скорость реакции фильтра связывает одно число — τ. Время нарастания от 10 до 90 % равно t_н = τ · ln 9 ≈ 2,2τ ≈ 0,35 / f_ср. По той же экспоненте работает таймер NE555: между порогами 1/3 и 2/3 напряжения питания конденсатор перезаряжается за τ · ln 2 ≈ 0,693τ.

Начальный ток заряда равен E / R — его ограничивает только резистор. При заряде от нуля в резисторе выделяется столько же энергии, сколько запасает конденсатор, — C · E² / 2, независимо от сопротивления. При больших ёмкостях проверьте импульсную мощность резистора по закону Ома.

Пример: сглаживание ШИМ

Чтобы получить из ШИМ частотой 20 кГц постоянное напряжение, допустим, первую гармонику нужно ослабить хотя бы в 100 раз (−40 дБ). Выше частоты среза |H| ≈ f_ср / f, значит, нужна частота среза около 20 кГц / 100 = 200 Гц. С конденсатором 1 мкФ:

R = \frac{1}{2\pi \cdot 200 \cdot 10^{-6}} = 796\ \text{Ом}

Из ряда E24 берём 820 Ом: частота среза 194,1 Гц, первая гармоника ослабляется в 103 раза (−40,3 дБ). Плата за сглаживание — медленная реакция: τ = 0,82 мс, и после изменения коэффициента заполнения выход устанавливается с точностью 1 % только через 4,6τ = 3,8 мс. Нагрузку к такому фильтру подключают через буфер на операционном усилителе, иначе она разряжает конденсатор и напряжение проседает.

Пример: разделительный конденсатор

Сигнал подают на вход усилителя с входным сопротивлением 10 кОм через конденсатор — вместе они образуют ФВЧ. Чтобы частота 20 Гц проходила с ослаблением не больше 3 дБ, нужна ёмкость не меньше 1 / (2π · 20 · 10⁴) = 0,8 мкФ. С конденсатором 1 мкФ частота среза — 15,9 Гц, на 20 Гц ослабление −2,1 дБ, а выход опережает вход на 38,5°.

Пример: задержка включения

От 5 В через резистор 10 кОм заряжается конденсатор 10 мкФ, τ = 0,1 с. Схема срабатывает, когда напряжение на конденсаторе достигает 3,3 В, — это 66 % от 5 В:

t = 0{,}1 \cdot \ln\frac{1}{1 - 0{,}66} = 0{,}108\ \text{с}

Подбор R и C под частоту среза

C = \frac{1}{2\pi f_\text{ср} R}, \qquad R = \frac{1}{2\pi f_\text{ср} C}

Номиналы конденсаторов идут с более крупным шагом, чем у резисторов, поэтому сначала выбирают конденсатор, а затем рассчитывают резистор и округляют его до ряда E24 или E96 — так советует руководство TI по фильтрам. Там же рекомендованы сопротивления от 1 до 100 кОм (меньшие сильно нагружают источник, большие добавляют шум) и ёмкости от 1 нФ: меньшие сравнимы с паразитными ёмкостями монтажа. Если нужного номинала нет, его составляют из двух — пары подберёт калькулятор последовательного и параллельного соединения.

Частоты среза для типовых номиналов

C \ R	1 кОм	4,7 кОм	10 кОм	47 кОм	100 кОм
1 нФ	159 кГц	33,9 кГц	15,9 кГц	3,39 кГц	1,59 кГц
4,7 нФ	33,9 кГц	7,2 кГц	3,39 кГц	720 Гц	339 Гц
10 нФ	15,9 кГц	3,39 кГц	1,59 кГц	339 Гц	159 Гц
47 нФ	3,39 кГц	720 Гц	339 Гц	72 Гц	33,9 Гц
100 нФ	1,59 кГц	339 Гц	159 Гц	33,9 Гц	15,9 Гц
470 нФ	339 Гц	72 Гц	33,9 Гц	7,2 Гц	3,39 Гц
1 мкФ	159 Гц	33,9 Гц	15,9 Гц	3,39 Гц	1,59 Гц
10 мкФ	15,9 Гц	3,39 Гц	1,59 Гц	339 мГц	159 мГц

Типичные ошибки

Реальный источник и нагрузка: для конденсатора фильтра они вместе с R дают одно эквивалентное сопротивление

Нагрузка на выходе. Сопротивление нагрузки R_н подключено параллельно конденсатору ФНЧ. Фильтр превращается в делитель: передача в полосе пропускания падает до R_н / (R + R_н), а в формулу частоты среза вместо R входит R ∥ R_н. При R_н = 10R передача уменьшается на 9 %, частота среза растёт на 10 %. В ФВЧ нагрузка оказывается параллельно резистору и тоже повышает частоту среза.
Выходное сопротивление источника складывается с R. Если сигнал приходит с другого RC-фильтра, делителя или датчика с выходным сопротивлением в килоомы, частота среза окажется ниже расчётной. В ФВЧ такой источник ещё и ослабляет сигнал в полосе пропускания. Калькулятор учитывает оба сопротивления в блоке «Источник и нагрузка».
Два звена подряд без буфера. Второе звено нагружает первое. Два одинаковых звена 10 кОм и 10 нФ (частота среза каждого 1,59 кГц) с буфером между ними дают общую частоту среза 1024 Гц, а без буфера — 596 Гц. Даже с буферами четыре одинаковых звена снижают частоту среза в 2,3 раза по сравнению с одним, поэтому многозвенный фильтр рассчитывают целиком.
Допуск и тип конденсатора. Частота среза отклоняется на столько же процентов, на сколько отличается ёмкость. Керамика X7R меняет ёмкость на ±15 % в диапазоне от −55 до +125 °C и сильно теряет её под постоянным напряжением: в примере Maxim конденсатор 4,7 мкФ на 16 В в корпусе 0805 при 12 В даёт около 1,5 мкФ. Для фильтров берут керамику C0G (NP0) или плёночные конденсаторы.
ESR и индуктивность конденсатора. С ростом частоты сопротивление реального конденсатора перестаёт падать: его ограничивают эквивалентное последовательное сопротивление (ESR) и индуктивность выводов и обкладок (ESL), а выше собственного резонанса на частоте 1 / (2π√(ESL · C)) конденсатор ведёт себя как катушка. Поэтому ослабление ФНЧ не растёт бесконечно: при R = 100 Ом и ESR = 1 Ом оно не превысит примерно 40 дБ.
Утечка электролитического конденсатора. В цепях с большим R ток утечки электролита создаёт на резисторе заметное падение напряжения, и конденсатор не заряжается до напряжения источника, а время до порога растёт. Для больших постоянных времени лучше уменьшить R и взять конденсатор с малой утечкой, например плёночный.

Частые вопросы

Как рассчитать частоту среза RC-фильтра?

По формуле fср = 1 / (2π · R · C). Например, резистор 10 кОм и конденсатор 10 нФ дают 1 / (2π · 10⁴ · 10⁻⁸) = 1592 Гц. Формула одна для фильтра нижних и верхних частот: на частоте среза сигнал ослабляется на 3 дБ (в 1,41 раза), а сдвиг фазы равен 45°.

Что такое постоянная времени RC-цепи?

Это произведение τ = R · C: при сопротивлении в омах и ёмкости в фарадах получаются секунды. За время τ конденсатор заряжается через резистор до 63,2 % от напряжения источника или разряжается до 36,8 % от начального. Например, 10 кОм и 100 мкФ дают τ = 1 с.

За сколько времени зарядится конденсатор?

До напряжения источника — бесконечно долго, поэтому считают время до заданного уровня: t = τ · ln(1 / (1 − p)), где p — доля от напряжения источника. До 90 % конденсатор заряжается за 2,3τ, до 99 % — за 4,6τ. Через 5τ напряжение достигает 99,3 %, и конденсатор обычно считают заряженным.

Чем фильтр нижних частот отличается от фильтра верхних частот?

Порядком элементов. В ФНЧ резистор включён последовательно, а конденсатор — между выходом и общим проводом: цепь пропускает постоянное напряжение и низкие частоты и ослабляет высокие. В ФВЧ последовательно стоит конденсатор, а резистор — на общий провод: постоянная составляющая не проходит, ослабляются низкие частоты.

Насколько RC-фильтр ослабляет помеху?

Выше частоты среза ослабление растёт на 20 дБ на декаду, то есть в 10 раз при каждом десятикратном росте частоты. На частоте 10 · fср сигнал ослаблен примерно в 10 раз (−20 дБ), на 100 · fср — в 100 раз (−40 дБ). Если нужно круче, ставят несколько звеньев с буферами или активный фильтр на операционном усилителе.

Почему частота среза на практике отличается от расчётной?

Из-за источника и нагрузки: выходное сопротивление источника складывается с R, а входное сопротивление следующего каскада включается параллельно конденсатору ФНЧ. Вторая причина — допуск и тип конденсатора: керамика X7R меняет ёмкость на ±15 % с температурой и теряет её под постоянным напряжением. Источник и нагрузку калькулятор учитывает в блоке «Источник и нагрузка».

Источники

Texas Instruments. Kugelstadt T. Active Filter Design Techniques (SLOA088), глава 16 из Op Amps For Everyone — пассивный RC-фильтр нижних частот: передаточная функция, частота среза −3 дБ, спад 20 дБ/дек, каскадирование звеньев, выбор номиналов и конденсаторов
Texas Instruments. Analog Engineer's Pocket Reference (SLYW038) — заряд и разряд RC-цепи, 99,3 % за 5τ
Horowitz P., Hill W. The Art of Electronics. 3rd ed. Cambridge University Press, 2015 — глава 1: RC-цепи, постоянная времени, RC-фильтры
Analog Devices (Maxim Integrated). Temperature and Voltage Variation of Ceramic Capacitors, or Why Your 4.7µF Capacitor Becomes a 0.33µF Capacitor — X7R: ±15 % от −55 до +125 °C, потеря ёмкости под постоянным напряжением
Analog Devices. MT-101: Decoupling Techniques — ESR, ESL и собственный резонанс конденсатора
IEC 60063:2015. Preferred number series for resistors and capacitors — ряды номиналов E6–E96

Обновлено 3 октября 2026 г.. Нашли ошибку в расчёте? Напишите нам.