Перейти к содержанию

Калькулятор LC-контура и реактивного сопротивления

Найдите резонансную частоту и волновое сопротивление контура, добротность и полосу пропускания по сопротивлению потерь, подберите L или C под нужную частоту или посчитайте реактивное сопротивление катушки и конденсатора.

Исходные данные

Что считаем
Гн

10u = 10 мкГн, 1m = 1 мГн

Ф

1n = 1 нФ, 100p = 100 пФ

Контур
Ом

провод катушки, ESR конденсатора и сопротивление источника, последовательно с L и C

Результат

Резонансная частота f₀
1,592 МГц
период колебаний 628,3 нс
Волновое сопротивление ρ
100 Омρ = √(L/C) = XL = XC на частоте f₀
Добротность Q
100напряжения на L и C в Q раз больше входного
Полоса пропускания (−3 дБ)
15,92 кГцf₀ / Q
Границы полосы
1,5836 МГц … 1,5995 МГц
Сопротивление на резонансе
1 Омминимум: равно r

LC-контур — катушка индуктивности и конденсатор, соединённые последовательно или параллельно. Их реактивные сопротивления меняются с частотой в противоположные стороны: XL = 2πfL растёт, XC = 1 / (2πfC) падает. На частоте, где они равны, наступает резонанс: f0 = 1 / (2π√(LC)). Например, 10 мкГн и 1 нФ резонируют на частоте 1,59 МГц, а волновое сопротивление такого контура ρ = √(L / C) = 100 Ом.

Как пользоваться калькулятором

  • Резонанс — введите L и C: калькулятор покажет резонансную частоту, период колебаний и волновое сопротивление. Выберите тип контура и укажите сопротивление потерь r — получите добротность, полосу пропускания и сопротивление контура на резонансе. Для параллельного контура можно задать нагрузку Rн.
  • Подбор L или C — задайте частоту и известный элемент: калькулятор рассчитает второй, округлит его до ряда E6, E12 или E24 и покажет фактическую частоту для соседних номиналов.
  • XL и XC — реактивное сопротивление катушки и конденсатора на заданной частоте. Если ввести и L, и C, калькулятор добавит сопротивление их последовательного и параллельного соединения и резонансную частоту.

Номиналы вводятся в инженерной записи: 10u — 10 мкГн или 10 мкФ, 1n — 1 нФ, 100p — 100 пФ, 1M — 1 МГц, 455k — 455 кГц. Регистр важен: 1M — мега, 1m — милли.

Реактивное сопротивление катушки и конденсатора

XL=2πfL,XC=12πfCX_L = 2\pi f L, \qquad X_C = \frac{1}{2\pi f C}

Ток через катушку отстаёт от напряжения на 90°, через конденсатор — опережает на 90°. Поэтому реактивное сопротивление, в отличие от активного, не рассеивает мощность: энергия запасается в магнитном или электрическом поле и возвращается в цепь. Конденсатор 1 мкФ на частоте сети 50 Гц имеет XC = 3,18 кОм, катушка 1 Гн — XL = 314 Ом.

При последовательном соединении реактивные сопротивления L и C вычитаются: X = XL − XC. При параллельном X = XL · XC / (XC − XL). Знак показывает характер цепи: плюс — индуктивный, минус — ёмкостный. Ниже резонансной частоты последовательный контур ведёт себя как конденсатор, а параллельный — как катушка; выше — наоборот.

Зависимость реактивных сопротивлений катушки и конденсатора от частотыЛогарифмические оси: отношение частоты к резонансной и отношение сопротивления к волновому. Индуктивное сопротивление растёт пропорционально частоте, ёмкостное — обратно пропорционально. Прямые пересекаются в точке f = f₀, где XL = XC = ρ.0,010,010,10,1111010100100X / ρf / f₀XL = 2πfLXC = 1/(2πfC)f₀: XL = XC = ρниже f₀: XC > XLвыше f₀: XL > XC
XL растёт пропорционально частоте, XC падает; прямые пересекаются на резонансной частоте, где XL = XC = ρ

Реактивное сопротивление конденсаторов:

C \ f50 Гц1 кГц100 кГц10 МГц
10 пФ318 МОм15,9 МОм159 кОм1,59 кОм
100 пФ31,8 МОм1,59 МОм15,9 кОм159 Ом
1 нФ3,18 МОм159 кОм1,59 кОм15,9 Ом
10 нФ318 кОм15,9 кОм159 Ом1,59 Ом
100 нФ31,8 кОм1,59 кОм15,9 Ом0,159 Ом
1 мкФ3,18 кОм159 Ом1,59 Ом0,0159 Ом
10 мкФ318 Ом15,9 Ом0,159 Ом< 0,01 Ом
100 мкФ31,8 Ом1,59 Ом0,0159 Ом< 0,01 Ом

Реактивное сопротивление катушек:

L \ f50 Гц1 кГц100 кГц10 МГц
1 мкГн< 0,01 Ом< 0,01 Ом0,628 Ом62,8 Ом
10 мкГн< 0,01 Ом0,0628 Ом6,28 Ом628 Ом
100 мкГн0,0314 Ом0,628 Ом62,8 Ом6,28 кОм
1 мГн0,314 Ом6,28 Ом628 Ом62,8 кОм
10 мГн3,14 Ом62,8 Ом6,28 кОм628 кОм
100 мГн31,4 Ом628 Ом62,8 кОм6,28 МОм
1 Гн314 Ом6,28 кОм628 кОм62,8 МОм

Значения меньше 0,01 Ом в таблицах не приводятся: на таких частотах сопротивление реального конденсатора определяют потери и индуктивность выводов, а катушки — сопротивление провода.

Резонансная частота и волновое сопротивление

Резонанс наступает, когда XL = XC, то есть 2πf0L = 1 / (2πf0C). Отсюда формула Томсона для резонансной частоты и волновое сопротивление:

f0=12πLC,ρ=LCf_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}, \qquad \rho = \sqrt{\frac{L}{C}}

Волновое (характеристическое) сопротивление ρ — общее значение XL и XC на резонансной частоте. Оно не зависит от частоты: при одной и той же f0 контур с большой индуктивностью и малой ёмкостью имеет большое ρ. Для подбора недостающего элемента:

C=1(2πf0)2L,L=1(2πf0)2CC = \frac{1}{(2\pi f_0)^2 L}, \qquad L = \frac{1}{(2\pi f_0)^2 C}
Последовательный и параллельный колебательный контурСлева последовательный контур: сопротивление потерь r, катушка L и конденсатор C включены последовательно между входными зажимами. Справа параллельный контур: ветвь из катушки L и сопротивления её провода r, параллельно ей конденсатор C и нагрузка Rн.rLCUвха) последовательный: резонанс напряженийLrCRнUвхб) параллельный: резонанс токов
Колебательные контуры: а) последовательный; б) параллельный с сопротивлением провода катушки r и нагрузкой Rн

Последовательный контур. На резонансе XL и XC компенсируют друг друга, и сопротивление контура минимально — остаётся только сопротивление потерь r. Ток максимален, а напряжения на катушке и конденсаторе в Q раз больше входного — это резонанс напряжений.

Параллельный контур. На резонансе его сопротивление максимально и равно Rрез = ρ² / r = Qρ, а токи в катушке и конденсаторе в Q раз больше тока источника — это резонанс токов.

Добротность и полоса пропускания

Добротность показывает, во сколько раз волновое сопротивление больше сопротивления потерь, и задаёт ширину резонансной кривой:

Q=ρr=2πf0Lr,Δf=f0QQ = \frac{\rho}{r} = \frac{2\pi f_0 L}{r}, \qquad \Delta f = \frac{f_0}{Q}

Полосу пропускания Δf отсчитывают по уровню 0,707 от максимума (−3 дБ). Её границы расположены несимметрично относительно f0, но их произведение равно f0²:

f1,2=f0(1+14Q2∓12Q)f_{1,2} = f_0\left(\sqrt{1 + \frac{1}{4Q^2}} \mp \frac{1}{2Q}\right)

Нагрузка Rн, подключённая к параллельному контуру, оказывается параллельно его резонансному сопротивлению: Qэ = (Rрез ∥ Rн) / ρ. Если потери заданы только сопротивлением, параллельным контуру, то Q = Rн / ρ.

Для последовательного контура эти формулы точные. В параллельном контуре с сопротивлением r в ветви катушки схема с Rрез = ρ² / r приближённая: частота, на которой контур чисто активный, немного ниже f0 и равна f0 · √(1 − 1/Q²). При Q = 10 разница 0,5 %, при Q = 3 — уже 5,7 %; калькулятор показывает эту частоту, когда отличие заметно. При Q меньше 0,5 колебаний нет: процесс в контуре апериодический.

Резонансные кривые контура с добротностью 10 и 3Отклик контура, отнесённый к значению на резонансе, в зависимости от отношения частоты к резонансной. Кривая с добротностью 10 узкая, с добротностью 3 широкая. Полоса пропускания отсчитывается на уровне 0,707 (−3 дБ) и равна f₀/Q.0,50,7511,251,500,51Kf / f₀0,707 (−3 дБ)Q = 10Q = 3Δf = f₀ / Q
Резонансные кривые: K — отклик контура относительно значения на резонансе. Чем выше добротность, тем уже полоса пропускания

Пример расчёта: контур на 1 МГц

Катушка 10 мкГн, нужна резонансная частота 1 МГц:

C=1(2π⋅106)2⋅10−5=2,533 нФC = \frac{1}{(2\pi \cdot 10^6)^2 \cdot 10^{-5}} = 2{,}533\ \text{нФ}

В ряду E12 ближайшие номиналы — 2,2 нФ (1,073 МГц, +7,3 %) и 2,7 нФ (968,6 кГц, −3,1 %). Точнее подойдёт пара 2,2 нФ и 330 пФ, включённых параллельно: 2,53 нФ дают 1,0006 МГц. Волновое сопротивление ρ = √(10⁻⁵ / (2,53 · 10⁻⁹)) = 62,9 Ом.

Пусть сопротивление провода катушки на этой частоте — 0,5 Ом. Тогда добротность Q = 62,9 / 0,5 = 126, а полоса пропускания — 7,96 кГц. Резонансное сопротивление такого параллельного контура Rрез = 62,9² / 0,5 = 7,9 кОм. Если подключить к нему нагрузку 10 кОм, эквивалентное сопротивление упадёт до 4,4 кОм, добротность — до 70, а полоса расширится до 14,2 кГц.

Типичные ошибки

Схемы замещения реальных катушки и конденсатораСлева катушка: индуктивность L последовательно с сопротивлением провода r, параллельно им межвитковая ёмкость Cп. Справа конденсатор: ёмкость C последовательно с эквивалентным сопротивлением ESR и индуктивностью выводов и обкладок ESL.LrCпа) катушкаCESRESLб) конденсатор
Схемы замещения реальных элементов: у катушки — сопротивление провода r и межвитковая ёмкость Cп, у конденсатора — ESR и индуктивность ESL
  • Паразитная ёмкость. К ёмкости контура добавляются ёмкость монтажа, входа следующего каскада и собственная ёмкость катушки — единицы пикофарад. В контурах с ёмкостью в десятки пикофарад это заметно сдвигает частоту, поэтому их настраивают подстроечным конденсатором.
  • Собственный резонанс катушки. Межвитковая ёмкость вместе с индуктивностью образует контур с собственной резонансной частотой (SRF); выше неё катушка уже не работает как индуктивность. Рабочая частота должна быть заметно ниже SRF из даташита. У конденсатора тоже есть собственный резонанс — между ёмкостью и индуктивностью выводов ESL.
  • Добротность по сопротивлению постоянному току. На высоких частотах сопротивление провода растёт из-за скин-эффекта, поэтому добротность, рассчитанная по сопротивлению постоянному току (DCR) из даташита, получается завышенной. Используйте значение Q, которое производитель указывает на определённой частоте, или измерьте его.
  • Неподходящий конденсатор. Керамика X7R и Y5V меняет ёмкость с температурой и под постоянным напряжением (у X7R — до ±15 % только от температуры), и частота контура уходит. Для контуров и фильтров берут керамику C0G (NP0), слюдяные или полипропиленовые конденсаторы.
  • Допуски L и C. Частота пропорциональна 1 / √(LC), поэтому её относительная ошибка примерно равна половине суммы ошибок L и C. При допусках ±10 % у катушки и ±5 % у конденсатора частота может отклониться от −7 до +8 %.
  • Высокое напряжение в последовательном контуре. На резонансе напряжение на конденсаторе и катушке в Q раз больше входного: при Q = 100 и входном сигнале 5 В — 500 В. Проверяйте допустимое напряжение конденсатора.
  • Нагрузка на параллельный контур. Входное сопротивление следующего каскада шунтирует контур и снижает добротность: Qэ = Q / (1 + Rрез / Rн). Чтобы нагрузка меньше влияла на контур, её подключают к отводу катушки или через катушку связи.

На низких частотах катушки для контуров становятся громоздкими, поэтому там LC-фильтры заменяют активными RC-фильтрами на операционных усилителях. Простейший фильтр без катушки — RC-цепь первого порядка. Ток и мощность в активной части цепи считайте по закону Ома.

Частые вопросы

Как рассчитать резонансную частоту LC-контура?

По формуле Томсона f₀ = 1 / (2π · √(L · C)). Например, катушка 10 мкГн и конденсатор 1 нФ дают 1 / (2π · √(10⁻⁵ · 10⁻⁹)) = 1,59 МГц. Формула одна для последовательного и параллельного контура; потери в катушке немного снижают частоту резонанса параллельного контура, но при добротности 10 и выше сдвиг не превышает примерно 0,5 %.

Как найти реактивное сопротивление конденсатора?

По формуле XC = 1 / (2π · f · C): сопротивление падает с ростом частоты и ёмкости. Конденсатор 1 мкФ на частоте сети 50 Гц имеет 3,18 кОм, на 1 кГц — 159 Ом. Ток через конденсатор опережает напряжение на 90°, поэтому реактивное сопротивление не рассеивает мощность, в отличие от активного.

Чему равно индуктивное сопротивление катушки?

XL = 2π · f · L — оно растёт пропорционально частоте. Катушка 10 мГн на частоте 1 кГц имеет 62,8 Ом, а на 100 кГц — 6,28 кОм. Постоянный ток катушка пропускает почти без сопротивления: остаётся только сопротивление провода.

Что такое добротность контура?

Добротность Q показывает, во сколько раз волновое сопротивление ρ = √(L / C) больше сопротивления потерь r: Q = ρ / r. От неё зависят полоса пропускания Δf = f₀ / Q и острота резонанса. Контур на 1 МГц с ρ = 63 Ом и потерями 0,5 Ом имеет Q ≈ 126 и полосу около 8 кГц. Нагрузка, подключённая к параллельному контуру, снижает добротность.

Чем последовательный контур отличается от параллельного?

Последовательный контур на резонансе имеет минимальное сопротивление, равное сопротивлению потерь, а напряжения на катушке и конденсаторе в Q раз больше входного — это резонанс напряжений. Параллельный контур на резонансе имеет максимальное сопротивление ρ² / r, а токи в его ветвях в Q раз больше тока источника — это резонанс токов. Поэтому параллельный контур часто ставят нагрузкой избирательного усилителя или генератора.

Почему реальная частота резонанса отличается от расчётной?

Из-за допусков катушки и конденсатора, паразитной ёмкости монтажа и входа следующего каскада и собственной ёмкости катушки. Ошибка частоты примерно равна половине суммы относительных ошибок L и C: при ±10 % у L и ±5 % у C частота может уйти на −7…+8 %. Поэтому контуры подстраивают конденсатором или сердечником катушки.

Источники

  1. Köymen H. Analog Electronics. Chapter 4: Tuned Circuits. Bilkent University, rev. 3.5, 2005 — последовательный и параллельный контур, добротность, полоса −3 дБ и её границы, контур с потерями в катушке, скин-эффект
  2. Keysight Technologies. Impedance Measurement Handbook, 6th ed. (5950-3000) — реактивное сопротивление, добротность Q = X/R, последовательная и параллельная схемы замещения
  3. Murata. Technical Terms for Inductors — собственная резонансная частота (SRF) и добротность катушки
  4. Analog Devices. MT-101: Decoupling Techniques — ESR, ESL и собственный резонанс конденсатора
  5. Texas Instruments. Kugelstadt T. Active Filter Design Techniques (SLOA088) — добротность как отношение средней частоты к полосе, конденсаторы C0G для фильтров, замена катушек активными фильтрами на низких частотах
  6. Analog Devices (Maxim Integrated). Temperature and Voltage Variation of Ceramic Capacitors — изменение ёмкости керамики X7R с температурой и напряжением
  7. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи — резонанс напряжений и токов, волновое сопротивление, добротность
  8. IEC 60063:2015. Preferred number series for resistors and capacitors — ряды номиналов E6–E24

Обновлено . Нашли ошибку в расчёте? Напишите нам.