Перейти к содержанию

Как собрать XOR из элементов И-НЕ?

Обновлено Редакция GAW

Содержание

Элемент И-НЕ универсален: Kuphaldt в главе о логических элементах показывает, что из него строится любая другая функция. Исключающее ИЛИ по выражению из главы о булевой алгебре равно AB' + A'B, и его можно собрать «в лоб» из инверторов, И и ИЛИ. Но есть схема экономнее — всего из четырёх элементов И-НЕ.

Схема

  1. N1 = (A · B)' — первый элемент получает оба входа.
  2. N2 = (A · N1)' — второй получает A и выход первого.
  3. N3 = (B · N1)' — третий получает B и выход первого.
  4. Y = (N2 · N3)' — четвёртый объединяет выходы второго и третьего.

Почему это XOR

По закону де Моргана инверсия произведения равна сумме инверсий, поэтому (наш вывод):

Y=(N2N3)′=N2′+N3′=A(AB)′+B(AB)′=(A+B)(A′+B′)=AB′+A′B.Y = (N_2 N_3)' = N_2' + N_3' = A(AB)' + B(AB)' = (A + B)(A' + B') = AB' + A'B.

Проверка таблицей

ABN1N2N3YA XOR B
0011100
0111011
1010111
1101100

На микросхеме

В корпусе 74HC00 ровно четыре элемента 2И-НЕ — схема занимает одну микросхему целиком (выводы — на странице 74HC00 и 74HC14). Сигнал от входа A до выхода проходит до трёх ступеней: по разделу 6.7 даташита SCLS181H задержка одного элемента при 4,5 В — 9 нс типично и до 23 нс в диапазоне −40…+85 °C, значит, у всей схемы около 27 нс типично и до 69 нс в худшем случае (наш расчёт).

Собрать схему и посмотреть её таблицу истинности можно в симуляторе логических схем, а как получать такие преобразования самостоятельно, разобрано в ответе «Как упростить логическое выражение».

Похожие вопросы

Можно ли собрать XOR из меньшего числа элементов И-НЕ?

Схема из четырёх элементов с общим N1 — самая экономная из распространённых. Прямая реализация формулы AB' + A'B в базисе И-НЕ требует пяти элементов: два инвертора и два элемента И-НЕ для произведений плюс один для суммы.

Как сделать исключающее ИЛИ-НЕ (XNOR)?

Добавить пятый элемент И-НЕ инвертором на выходе: соединить оба его входа с выходом XOR. В одном корпусе 74HC00 места уже нет, понадобится вторая микросхема — или готовая микросхема элементов исключающего ИЛИ.

Будут ли на выходе выбросы при одновременном изменении входов?

Могут быть короткие: сигнал идёт к выходу по путям разной длины — через одну и через две ступени до последнего элемента. Пока задержки не выровнялись, выход может на несколько наносекунд принять неверное значение. Для синхронных схем это не страшно, а как тактовый сигнал такой выход не используют.

Источники

  1. Kuphaldt T. R. Lessons In Electric Circuits, Vol. IV — Digital, ch. 3 «Logic Gates», разд. «Gate universality» и «The Exclusive-OR gate» (CC BY) — из элементов И-НЕ можно построить любую другую логическую функцию; XOR даёт единицу, когда входы различны; равносильные схемы XOR на элементах И, ИЛИ и НЕ
  2. Kuphaldt T. R. Lessons In Electric Circuits, Vol. IV — Digital, ch. 7 «Boolean Algebra» (CC BY) — разд. «The Exclusive-OR function»: XOR выражается через И и ИЛИ как AB' + A'B; разд. «DeMorgan's Theorems»: инверсия произведения равна сумме инверсий
  3. Texas Instruments. SNx4HC00 Quadruple 2-Input NAND Gates (SCLS181H, revised August 2021) — четыре независимых элемента 2И-НЕ в корпусе; разд. 6.7: задержка tpd от A или B до Y при 4,5 В — 9 нс тип., 18 нс макс. при 25 °C, 23 нс макс. в диапазоне −40…+85 °C

Нашли ошибку?

Смотрите также