Макстерм

Макстерм описывает не единицу, а ноль функции: это сумма переменных, которая обращается в 0 ровно в одной строке таблицы. Произведение макстермов всех нулевых строк даёт ту же функцию, что и сумма минтермов, — только записанную через нули.

Обновлено 1 ноября 2026 г.Редакция GAW

Макстерм (maxterm, конституента нуля) — сумма всех переменных функции, каждая из которых взята прямо или с инверсией так, что сумма равна 0 ровно в одной строке таблицы истинности. Это двойственное понятие к минтерму: минтерм отмечает одну единицу, макстерм — один ноль. По Kuphaldt, макстерм даёт ноль в одной клетке карты Карно и единицы во всех остальных — то есть покрывает максимальную площадь единиц.

Адрес макстерма

Сумма обращается в ноль, только когда все слагаемые равны нулю. Поэтому переменная, которая входит в макстерм прямо, в «его» строке равна 0, а с инверсией — 1. Kuphaldt даёт правило: записать двоичное значение суммы, взять дополнение, поставить ноль по получившемуся адресу.

Строка A B C	Номер	Макстерм
0 0 0	M0	A + B + C
0 0 1	M1	A + B + C'
1 1 1	M7	A' + B' + C'

Функция равна произведению макстермов своих нулевых строк. Сокращённая запись использует знак Π и прописную M: Kuphaldt приводит f(A, B, C, D) = ΠM(2, 6, 8, 9, 10, 11, 14). Числа — номера клеток с нулями.

Связь с минтермами и КНФ

Списки Σm и ΠM одной функции дополняют друг друга до всех номеров от 0 до 2ⁿ − 1: функция «два из трёх» — это Σm(3, 5, 6, 7) и одновременно ΠM(0, 1, 2, 4).
Произведение макстермов — каноническое произведение сумм (КНФ). Соседние нули на карте Карно склеиваются: (A + B + C)(A + B + C') = A + B.
Для примера Kuphaldt с семью нулями склейка даёт (A' + B)(C' + D) — две суммы и одно произведение, три элемента против пяти у суммы произведений той же функции.

Перевести функцию из одной записи в другую и сравнить минимальные формы позволяют карта Карно онлайн и симулятор логических схем.

Частые вопросы

Почему макстерм A + B + C стоит в клетке 000, а не 111?

Потому что сумма равна нулю, только когда все её слагаемые равны нулю. A + B + C = 0 лишь при A = B = C = 0. Kuphaldt формулирует правило так: записать двоичное значение суммы, взять дополнение и использовать его как адрес нуля. Для A' + B' + C' дополнение даёт 111 — ноль стоит там.

Как связаны записи Σm и ΠM одной функции?

Они перечисляют дополняющие друг друга номера строк. Если f = Σm(3, 5, 6, 7) для трёх переменных, то нули функции — в строках 0, 1, 2 и 4, и f = ΠM(0, 1, 2, 4). Вместе два списка дают все номера от 0 до 2ⁿ − 1.

Когда удобнее работать с макстермами?

Когда нулей у функции меньше, чем единиц, или когда нужна схема ИЛИ-И и её вариант на элементах ИЛИ-НЕ. В примере Kuphaldt функция с девятью единицами и семью нулями в форме произведения сумм требует три элемента против пяти в сумме произведений.

Источники

Kuphaldt T. R. Lessons In Electric Circuits, Vol. IV — Digital, ch. 8 «Karnaugh Mapping», разд. «Minterm vs maxterm solution» и «Σ (sum) and Π (product) notation» (CC BY) — макстерм — выражение, дающее 0 для одной клетки карты Карно или строки таблицы и 1 для остальных; это сумма, а не произведение; (A + B + C) равен 0 только при 000; порядок: записать двоичное значение суммы, взять дополнение и поставить 0 по этому адресу; A' + B' + C' — ноль в клетке 111; Π означает произведение, M — макстермы: f(A,B,C,D) = ΠM(2, 6, 8, 9, 10, 11, 14), числа — адреса нулей; пример: та же функция в виде КНФ (A' + B)(C' + D)
Kuphaldt T. R. Lessons In Electric Circuits, Vol. IV — Digital, ch. 7 «Boolean Algebra», разд. «Converting truth tables into Boolean expressions» (CC BY) — форма Product-Of-Sums строится по строкам с нулём на выходе; сигнал рассогласования трёх датчиков — (A + B + C)(A' + B' + C')

Нашли ошибку?