Векторное управление (FOC) синхронным двигателем

Зачем векторное управление

Простейший способ вращать бесколлекторный двигатель — шестиступенчатая коммутация: две обмотки под током, третья свободна, переключение каждые 60 электрических градусов по датчикам Холла. AN1078 отмечает её недостаток: момент колеблется, а динамики не хватает для нагрузок, которые резко меняются, — например, для барабана стиральной машины. Наименьшие пульсации момента даёт питание синусоидальными токами двигателя с синусоидальной противо-ЭДС (SPRABQ3).

Момент наибольший, когда поля статора и ротора перпендикулярны (SPRABQ3, разд. 3). FOC держит это условие непрерывно: знает угол ротора и ставит вектор тока статора ровно под 90° к потоку магнитов. AN1292 называет это режимом наибольшего момента на ампер.

Структура FOC

Каждый период ШИМ (AN1078, шаги 1–7):

1. АЦП измеряет токи двух фаз, третий вычисляется.
2. Преобразование Кларка даёт iα и iβ — те же токи в двух неподвижных осях.
3. Преобразование Парка по углу ротора θ даёт Id и Iq; в установившемся режиме они постоянные.
4. Два ПИ-регулятора сравнивают Id и Iq с заданиями и выдают напряжения Vd и Vq.
5. Обновляется оценка угла θ (или он читается с датчика).
6. Обратное преобразование Парка возвращает Vd, Vq в неподвижные оси: Vα, Vβ.
7. Обратное преобразование Кларка и SVPWM пересчитывают их в скважности трёх полумостов.

Внешний регулятор скорости выдаёт задание Iq — это задание момента. Если регулятор скорости отключить и задавать Iq напрямую, получится режим управления моментом (AN1078, Torque mode). Как устроены и настраиваются сами регуляторы, разобрано в статье «ПИД-регулятор для двигателя».

Преобразование Кларка

Три фазных тока лежат на трёх осях a, b, c, разнесённых на 120°. Их сумма равна нулю, поэтому достаточно двух. Преобразование Кларка с осью α вдоль фазы a (AN1078, рис. 7; SPRABQ3, разд. 4.5):

В этой форме амплитуда вектора (iα, iβ) равна амплитуде фазного тока — это видно и в примере расчёта ниже. Сами iα и iβ — синусоиды частоты вращения поля, сдвинутые на 90°: SPRABQ3 при отладке проверяет именно это — iα совпадает с ia и опережает iβ на 90° при той же амплитуде.

Преобразование Парка

Оси d и q вращаются вместе с ротором; ось d направлена по потоку магнитов и повёрнута относительно α на угол ротора θ. Проекции вектора тока на эти оси (AN1078, рис. 8; SPRABQ3, разд. 4.6):

Если угол верный, Id и Iq постоянны — ими управляют, как постоянными величинами. Если угол с ошибкой, ось d не совпадает с потоком, и Id и Iq перестают быть составляющими потока и момента (SPRABQ3, разд. 5.1). Поэтому точность угла — главное требование FOC.

Угол здесь электрический: за один механический оборот он проходит 360° столько раз, сколько у ротора пар полюсов. По уравнению (4) AN1078 частота электрического вращения равна об/мин · пары полюсов / 60.

Регуляторы токов Id и Iq

У двигателя с постоянными магнитами поток уже создан ротором, поэтому задание Id = 0, а момент задаёт только Iq (AN1292, SPRABQ3). Оба регулятора — ПИ, без D-составляющей. В AN1078 регулятор ограничивает выход и не даёт интегратору копить ошибку: разность между неограниченным и ограниченным выходом (Excess) умножается на Kc и вычитается из суммы интегратора; Kc обычно берут равным Ki.

Настройка контура тока по SPRUHJ1. Обмотка для регулятора — цепь RL с полюсом на частоте R/L. В последовательной форме ПИ (Kpseries = Kp, Kiseries = Ki/Kp) TI предлагает два правила (разд. 11.2–11.4):

Первое сокращает нуль регулятора с полюсом обмотки, и замкнутый контур становится простым звеном первого порядка без резонансного пика; второе задаёт его полосу в рад/с. Регулятор скорости настраивают после контура тока, и контур тока должен оставаться быстрее: его полюс Kpseries/L обязан лежать выше нуля регулятора скорости (там же, разд. 11.3). В SPRABQ3 порядок тот же — сначала контуры токов, потом скорость.

Ограничения. Выходы Vd и Vq ограничивают так, чтобы их векторная сумма была меньше 1,0 — это наибольшая скважность SVPWM (SPRABQ3, разд. 9.8). Единица здесь — относительная величина (per-unit) программы TI, где напряжения хранятся в формате Q24. В вольтах для преобразования Кларка с сохранением амплитуды, как в этой статье, это $\sqrt{V_d^2 + V_q^2} \le V_\text{DC} / \sqrt{3}$ — радиус окружности, вписанной в шестиугольник SVPWM (SPRA524); при шине 24 В — $24/\sqrt{3} \approx 13{,}9$ В амплитуды фазного напряжения (наш расчёт). Без правильных ограничений токи искажаются, контур теряет устойчивость, и TI предупреждает о возможной поломке силовой части.

Обратный Парк и SVPWM

Выходы регуляторов поворачивают обратно в неподвижные оси (AN1078, рис. 10):

Обратное преобразование Кларка, полученное из прямого и условия суммы, равной нулю (наш вывод): V_a = V_α, $V_b = (-V_\alpha + \sqrt{3}\,V_\beta)/2$, $V_c = (-V_\alpha - \sqrt{3}\,V_\beta)/2$. В AN1078 этот шаг встроен в SVM в модифицированном виде — с переставленными α и β, чтобы сразу получить времена векторов.

Пространственно-векторная модуляция. Каждый из трёх полумостов подключает свой вывод к плюсу или минусу шины — всего 2³ = 8 состояний. Два из них (все к плюсу или все к минусу) нулевые, остальные шесть дают векторы напряжения через 60° (AN1078, табл. 1, рис. 12). Нужный вектор между двумя соседними получают усреднением за период T: первый вектор включён время T1, второй — T2, остаток T0 = T − T1 − T2 — нулевые векторы. При симметричной (center-aligned) ШИМ в каждом периоде два импульса между фазами: эффективная частота удваивается, пульсации тока меньше, а потери на переключение те же (AN1078).

По AN955 выигрыш около 15 %, по SPRA524 — в $2/\sqrt{3} \approx 1{,}155$ раза. AN955 приводит и индексы модуляции в линейной зоне — 0–1,0 у синусоидальной ШИМ и 0–0,866 у SVM, — но для SVM определяет индекс иначе, как m = |V_S|/V_DC. Поэтому меньшее число у SVM не означает меньшего напряжения: при m = 0,866 линейное напряжение на 15 % выше, чем у синусоидальной ШИМ с индексом 1. Больше напряжения — выше скорость, на которой регулятору тока ещё хватает запаса над противо-ЭДС.

Ключи одного полумоста при комплементарной ШИМ разделяют мёртвым временем — в опытах SPRABQ3 0,83 и 1,66 мкс. Как устроены драйверы и мосты — в статье «Драйверы H-моста».

Измерение токов: один, два или три шунта

В AN1078 токи двух фаз снимают шунты в нижних плечах инвертора, а АЦП запускается от ШИМ в момент, когда через шунты течёт ток. Ограничение общее для всех схем: ток фазы виден на шунте только пока открыт нижний ключ этой фазы (SPRUHJ1, разд. 17.2). Отсюда разница вариантов:

Пример TI: при скважности 95 % и ШИМ 20 кГц нижний ключ открыт 2,5 мкс; чтобы сигнал успел установиться за десятую часть этого времени, ОУ должен пройти 1,65 В за 0,25 мкс — это 6,6 В/мкс. Окно сокращают ещё мёртвое время, звон при переключении и фильтр на входе АЦП (AN1299).

Ток через шунт двуполярный, поэтому ноль сдвигают на середину шкалы АЦП. В плате TI DRV8312 шунты по 10 мОм и усиление 19,08 В/В дают 17,30 А на всю шкалу 3,3 В (SPRUHJ1, разд. 17.6.1). Как выбрать шунт и усилитель — в статье «Датчики тока» и калькуляторе шунта.

Угол ротора: датчик или наблюдатель

С датчиком. Энкодер даёт угол с высоким разрешением, но нужно знать, где ноль электрического угла относительно ротора. В SPRABQ3 ротор фиксируют током, а при первой метке индекса энкодера запоминают смещение между положением ротора и меткой. Как читать энкодер аппаратным счётчиком — в статье «Энкодеры». Датчики Холла меняют состояние раз в 60 электрических градусов (AN885), так что между переходами угол приходится досчитывать по скорости.

Без датчика — наблюдатель со скользящим режимом (SMO, AN1078). В программе работает модель обмотки: $v_s = R\,i_s + L\,\frac{di_s}{dt} + e_s$. Модель получает те же напряжения, что и двигатель, и сравнивает расчётный ток с измеренным; знак ошибки, умноженный на коэффициент, — корректирующее напряжение z. Когда токи сошлись, отфильтрованный z равен противо-ЭДС, а угол по формуле AN1078 $\theta = \arctan(e_\alpha, e_\beta)$ вычисляется алгоритмом CORDIC. Это арктангенс двух аргументов, в C — atan2(y, x), где первым идёт составляющая по оси y. AN1078 не уточняет порядок и знаки, а они зависят от принятых осей. Наш вывод для преобразования Парка из этой статьи (ось d — по потоку ротора): $e_\alpha = -E \sin\theta$, $e_\beta = E \cos\theta$, откуда $\theta = \operatorname{atan2}(-e_\alpha, e_\beta)$; при другом направлении вращения или другой ориентации осей знаки меняются. Проверяют это на стенде: с энкодером или при фиксированном токе сравнивают вычисленный угол с известным. Фильтров первого порядка два, частота среза каждого следует за частотой вращения, поэтому каждый даёт постоянный сдвиг −45°, а сумму 90° просто прибавляют к углу. В SPRABQ3 угол тоже оценивает наблюдатель со скользящим режимом.

Без датчика — оценщик PLL (AN1292). Он опирается на то, что в установившемся режиме составляющая противо-ЭДС по оси d равна нулю. Противо-ЭДС вычисляют в осях α, β из напряжений, токов, R и L, поворачивают в d, q по оценке угла и фильтруют. Скорость $\omega = (E_{qf} - \operatorname{sgn}(E_{qf}) \cdot E_{df}) / K_\Phi$, где KΦ — постоянная противо-ЭДС, а угол — её интеграл.

Пуск. Противо-ЭДС пропорциональна скорости, и у стоящего двигателя оценивать нечего. В AN1078 двигатель разгоняют без обратной связи: угол растёт с постоянным ускорением, регуляторы при этом держат токи, а момент пуска задаёт потенциометр. После разгона программа переходит на оценку угла. Испытанный диапазон AN1078 — 500–17 000 об/мин; на очень малой скорости качество зависит от точности угла (SPRABQ3), а AN1292 прямо пишет, что точное управление на малых скоростях не цель бездатчикового метода.

Ослабление поля

Инвертор не может дать больше напряжения шины. Часть его падает на сопротивлении и индуктивности обмотки, остаток уравновешивает противо-ЭДС, которая растёт пропорционально скорости и постоянной KΦ (AN1078, AN1292). Чтобы разогнаться выше номинальной скорости, ослабляют поток магнитов: задают отрицательный Id. Момент на ампер при этом падает. В AN1078 задание Id берётся из таблицы по скорости с линейной интерполяцией; ниже номинальной скорости Id = 0.

У двигателя с поверхностными магнитами большой воздушный зазор, и ослабление действует слабо: в AN1292 испытанный двигатель удалось разогнать почти вдвое выше базовой скорости при Id до 1,5 номинального тока, и это предел.

Пример расчёта

Двигатель с четырьмя парами полюсов вращается со скоростью 3000 об/мин, контур FOC выполняется каждые 50 мкс (20 кГц, как в AN1078). В некоторый момент угол ротора θ = 60°, а АЦП дал ia = −1,5 А и ib = 1,9 А. Расчёт наш, по формулам AN1078:

Регулятор Id видит ошибку −0,40 А при задании 0 и уменьшает Vd. Пусть регуляторы выдали Vd = −1,0 В и Vq = 6,0 В. Обратный Парк при θ = 60°: Vα = −1,0 · 0,5 − 6,0 · 0,866 = −5,70 В, Vβ = −1,0 · 0,866 + 6,0 · 0,5 = 2,13 В; обратный Кларк даёт фазные напряжения −5,70 В, 4,70 В и 1,00 В, их сумма равна нулю. Эти три числа SVPWM превращает в скважности.

Коэффициенты регулятора тока. Для двигателя Hurst из AN1078 (5,34 Ом и 3,84 мГн между выводами) фазные R = 2,67 Ом и L = 1,92 мГн — половина измеренного между выводами, как предписывают AN1078 и AN1292. По правилам SPRUHJ1: Kiseries = R/L ≈ 1391 рад/с. Выберем полосу контура тока 500 Гц, то есть 3142 рад/с (наш выбор, с большим запасом до частоты контура 20 кГц): Kpseries = 1,92 мГн · 3142 ≈ 6,0 В/А. В параллельной форме Ki = Kp · Kiseries ≈ 8400 В/(А·с), а за период 50 мкс интегратор прибавляет 0,42 В на каждый ампер ошибки. Для сравнения, AN1078 по тем же R и L получает коэффициенты модели наблюдателя F = 0,9304 и G = 0,026.

Сколько это стоит процессору

FOC — это несколько умножений, синус и косинус угла и арктангенс у наблюдателя каждый период ШИМ. В AN1078 на dsPIC33F контур 50 мкс занимает около 21 MIPS — примерно две трети процессора, 450 байт ОЗУ и около 6 Кбайт кода, так что алгоритм помещается в самый младший dsPIC33FJ12MC202. В SPRABQ3 на TMS320F2803x при частоте прерывания 10 кГц уходит 943 такта: 15,7 % процессора на 60 МГц и 27,3 % на 40 МГц. Оба примера считают в фиксированной точке с насыщением — dsPIC выполняет умножение с накоплением и дробную арифметику за такт, а TI использует библиотеку IQmath.

Типичные ошибки

• Не откалибровано смещение датчика тока. Ноль двуполярного сигнала — середина шкалы АЦП, и смещение усилителя даёт постоянную составляющую в iα, iβ. После поворота Парка она превращается в пульсацию Id и Iq с электрической частотой (наш вывод из формул). SPRABQ3 проверяет компенсацию смещения отдельным шагом отладки до замыкания контуров, InstaSPIN калибрует смещения автоматически.
• Перепутаны число полюсов и пар полюсов. В даташите бывает указано число полюсов — его делят на 2 (SPRUHJ1, разд. 4.8.1.1). С неверным числом пар неверны скорость и момент, а с энкодером — и электрический угол, и векторное управление не работает.
• Неверная фаза или знак тока. По SPRABQ3 iα должен совпадать с ia и опережать iβ на 90°, а ток — отставать от напряжения той же фазы. Знак смещения зависит от того, инвертирует ли усилитель шунта (SPRUHJ1).
• Нет ограничений выходов ПИ или интегратор без защиты. Векторная сумма Vd и Vq не должна превышать наибольшую скважность SVPWM: 1,0 в относительных единицах TI (SPRABQ3), $V_\text{DC}/\sqrt{3}$ в вольтах; интегратор ограничивают, как в AN1078.
• Регулятор скорости быстрее контура тока. Внутренний контур должен быть быстрее внешнего (SPRUHJ1, разд. 11.3), подробнее — в статье о ПИД-регуляторе.
• Мёртвое время съедает окно измерения. При большой скважности, высокой частоте ШИМ и длинной паузе ток не успевает установиться к моменту выборки (AN1299, SPRUHJ1).
• Бездатчиковый пуск под нагрузкой срывается. Наблюдателю нужна скорость; для тяжёлого пуска увеличивают ток разгона и его время (AN1078, AN1292) или ставят датчик.