ПИД-регулятор для двигателя

Три составляющие

В установившемся режиме ошибка равна нулю, и P-составляющая тоже ноль: скважность, нужную двигателю на заданной скорости, держит интегратор. Поэтому для привода почти всегда нужна хотя бы ПИ-структура — на графиках AN937 пропорциональный регулятор ни при одном из четырёх коэффициентов не выходит точно на задание, а останавливается с ненулевой ошибкой.

Дискретная форма на микроконтроллере

Микроконтроллер вычисляет регулятор раз в период Ts, поэтому интеграл заменяют суммой, а производную — разностью (AN964, уравнения 2–4):

Ту же формулу пишут через постоянные времени: K_i = K_p/T_i, K_d = K_p · T_d. Множители K_iT_s и K_d/T_s считают заранее — в цикле остаются три умножения и сложения. AN964 выбирает частоту 256 Гц, чтобы деление на частоту превратилось в сдвиг; с готовыми коэффициентами это не нужно.

Такая запись — позиционный алгоритм: каждый раз вычисляется сам выход. Есть и скоростной алгоритм (алгоритм приращений): вычисляется изменение выхода Δu, которое прибавляют к прошлому значению. Kuphaldt (разд. 29.15.2) отмечает его преимущество: при смене коэффициента на ходу выход не прыгает.

Период должен быть постоянным. Коэффициенты K_iT_s и K_d/T_s верны только при неизменном Ts. Регулятор вызывают из прерывания таймера, а в AN532 прерывание синхронизировано с ШИМ: оно приходит раз в 16 периодов ШИМ 15,625 кГц, то есть каждые 1,024 мс. Как подобрать предделитель и период таймера — в калькуляторе таймера.

Ориентиры из AN532: электрическая постоянная времени двигателей — от 0,5 мс, механическая — от 20 мс. Контур тока работает со скоростью электрических процессов, контур скорости — механических. AN964 оценивает нужную частоту для маятника в 30 Гц и берёт с запасом в 8 раз больше.

Насыщение интегратора

Выход регулятора всегда ограничен: скважность не бывает больше 100 %, ток — больше допустимого. Если ошибка держится долго, а выход уже в пределе — вал заторможен, двигатель разгоняется с предельным током, — интегратор продолжает копить ошибку без пользы. Когда помеха исчезает, накопленная сумма держит выход в пределе, пока не «размотается», и скорость сильно перескакивает задание (AN532). Kuphaldt и TI в SPRUHJ1 описывают то же явление под названием windup.

Три способа защиты из документов:

• Не интегрировать при насыщении (AN532, AN937): пока выход в пределе, сумма не меняется. Удобная разновидность — разрешать интегрирование, если оно уводит выход из предела.
• Ограничить сумму ошибок (AN937): накопленную ошибку сравнивают с пределом и не дают выйти за него.
• Обратный расчёт (AN1078): превышение неограниченного выхода над пределом умножают на Kc и вычитают из суммы; AN1078 советует Kc = Ki.

В каскаде предел выхода внешнего регулятора — это ограничение задания внутреннего: регулятор скорости выдаёт задание тока не больше допустимого тока двигателя.

Производная: по измерению и с фильтром

Если D считать по ошибке, скачок задания даёт бесконечную производную и выброс выхода. Kuphaldt (разд. 29.7) описывает вариант, который есть во многих регуляторах: D считают по изменению измерения, а не ошибки, — при неизменном задании это то же самое, а скачок задания выброса не даёт. Знак при этом меняется: −K_d · Δy/T_s. AN937 тоже упоминает D по выходу объекта как альтернативу.

Вторая проблема — шум: D отвечает на скорость изменения, а у шума она огромная. AN964 ставит перед АЦП аналоговый фильтр Бесселя с частотой среза 60 Гц и ограничивает D-составляющую в коде; AN937 вычисляет разность ошибок только раз в четыре периода. В программе удобен фильтр первого порядка того же вида, что в AN1078 и AN1292: y(n) = y(n − 1) + K (x(n) − y(n − 1)), где K меньше 1.

В контуре скорости AN1078 обходится без D вообще: скорость меняется медленно, а D-составляющая вызывает резкие изменения скважности и срабатывание защиты по току.

Каскад: ток, скорость, положение

Одним ПИД сразу по углу вала управлять трудно: ток двигателя задаёт ускорение, а угол — его двойной интеграл. Kuphaldt (разд. 31.2) показывает классическую схему сервопривода — три вложенных контура: регулятор положения выдаёт задание скорости, регулятор скорости — задание тока (момента), регулятор тока — напряжение на двигателе. Каждый внутренний контур упрощает объект для внешнего: при замкнутом контуре скорости регулятор положения видит не «разгоняющийся», а просто интегрирующий объект.

Два правила каскада (Kuphaldt, разд. 31.2):

• Внутренний контур быстрее внешнего. Если внешний регулятор меняет задание быстрее, чем внутренний успевает его отработать, каскад не работает.
• Настраивают изнутри наружу. Сначала ток, потом скорость, потом положение: внешний регулятор полагается на отлаженный внутренний. TI в SPRABQ3 отлаживает векторное управление в том же порядке — контуры токов, затем скорость.

TI в SPRUHJ1 даёт для каскада «ток — скорость» расчётную методику. Для контура тока в последовательной форме ПИ K_i,series = R/L, K_p,series = L · ω_тока. Для контура скорости вводится коэффициент демпфирования δ: чем он больше, тем устойчивее и медленнее контур. При δ = 1 система неустойчива, ниже 2 — большое перерегулирование, выше 30 — слишком медленный отклик. В примере TI для двигателя с R = 0,4 Ом и L = 0,6 мГн при полосе скорости 800 рад/с и δ = 4 полоса контура тока получается 2126 рад/с, а коэффициенты — Kpseries = 1,28 и Kiseries = 667 для тока, 133 и 3,29 для скорости. Как это применяется в векторном управлении — в статье «Векторное управление (FOC)».

Задание для контура положения обычно не ступенька, а профиль. В AN532 скорость растёт с постоянным ускорением A до предела, держится и снижается — трапеция, а для короткого перемещения треугольник. Каждый период новое задание считается так: V(k) = V(k − 1) + A, P(k) = P(k − 1) + V(k − 1) + A/2.

Как настраивать

Вручную, по AN1078. Обнулить I и D, увеличивать P, пока отклик на изменение задания не станет быстрым без заметного перерегулирования и колебаний; затем понемногу увеличивать I, пока ошибка не начнёт уходить в ноль — в большинстве систем I нужно немного. Если появились колебания вокруг задания, уменьшить I и увеличить P. AN937 советует похожее: начать с малых коэффициентов, настроить один P и добавлять остальные составляющие по одной. AN532 записывает задание, скорость и ошибку каждый период и подбирает коэффициенты по графикам — то же можно сделать, выводя данные в UART.

По Зиглеру — Никольсу (Kuphaldt, разд. 30.3.1). Отключить I и D и поднимать Kp, пока контур не начнёт колебаться с постоянной амплитудой. Этот коэффициент — критический Ku, период колебаний — Pu. Дальше по таблице:

P-регулятор с Kp = 0,5 Ku, по Kuphaldt, даёт затухание колебаний примерно в четверть амплитуды за период — быстрый отклик ценой заметного перерегулирования. Kuphaldt предупреждает: чтобы найти Ku, систему приходится доводить до границы устойчивости, а это опасно для оборудования. И ещё одно условие (разд. 30.3): колебания должны ограничиваться самой системой, а не тем, что выход регулятора или датчик упирается в предел. Если скважность ШИМ на пиках достигает 0 или 100 % или срабатывает ограничение тока, это уже не те колебания — найденные Ku и Pu будут неверными; коэффициент уменьшают, пока волна не станет симметричной синусоидой.

Пример (наш расчёт): контур скорости при периоде 1 мс начал колебаться при Ku = 40 с периодом Pu = 20 мс. Для ПИД: Kp = 24, Ti = 10 мс, Td = 2,5 мс, то есть K_iT_s = K_pT_s/T_i = 2,4 на период и K_d/T_s = K_pT_d/T_s = 60.

Расчётом, если известны параметры двигателя и нагрузки, — по методике SPRUHJ1 из предыдущего раздела.

Пример: регулятор скорости по энкодеру, 1 кГц

Коллекторный двигатель с энкодером на 500 периодов на оборот; таймер в режиме энкодера считает все фронты (x4) — 2000 отсчётов на оборот. Регулятор вызывается раз в 1 мс, выход — значение сравнения таймера ШИМ от 0 до 999. Все числа ниже — наш расчёт.

Измерение скорости. Скорость — приращение счётчика за период. Задание 1500 об/мин = 25 об/с = 50 000 отсчётов в секунду = 50 отсчётов за 1 мс. Шаг измерения — один отсчёт за период, то есть 0,5 об/с или 30 об/мин: 2 % от задания. Соседние выборки скачут на ±1 отсчёт, и D-составляющая превращала бы каждый скачок в рывок ШИМ — ещё одна причина обойтись ПИ. Точнее измеряют по нескольким периодам (окно 10 мс даёт шаг 3 об/мин, но добавляет запаздывание) или по времени между импульсами. Как устроены энкодеры и режимы счёта — в статье «Энкодеры».

Первые периоды. Коэффициенты подобраны для примера: Kp = 10 единиц ШИМ на отсчёт/мс ошибки, K_iT_s = 2 на период. Пуск с места:

Заторможенный вал. Пусть вал удержан 100 мс при ошибке 50. P = 500, интегратор растёт на 100 за период, и уже на пятом периоде выход 500 + 500 = 1000 упирается в предел 999.

• Без защиты интегратор через 100 мс достигает 10 000, неограниченный выход — 10 500. После освобождения вала выход останется в пределе, пока P + интегратор не опустится ниже 999. Если двигатель перескочил задание на 10 отсчётов/мс (300 об/мин), P = −100, и интегратор должен упасть с 10 000 примерно до 1100, теряя по 20 за период, — это около 450 мс полной скважности при скорости выше заданной.
• С остановкой интегратора, как в коде ниже, он замирает на 400 — последнем значении, при котором выход был ниже предела, — и выход уходит из предела, как только ошибка начинает уменьшаться.

Код на C

Регулятор в целых числах: коэффициенты и интегратор хранятся в формате Q8 (значение · 256), что даёт дробные коэффициенты без плавающей точки. Подробнее о форматах — в статье «Фиксированная точка».

#include <stdint.h>

// Gains and integrator in Q8 (value * 256); output in PWM compare counts.
typedef struct {
    int32_t kp;        // Kp, Q8
    int32_t ki;        // Ki * Ts, Q8
    int32_t kd;        // Kd / Ts, Q8
    int32_t integ;     // integrator state, Q8
    int32_t d_filt;    // filtered derivative term, Q8
    int32_t prev_meas; // measurement of the previous sample
    int32_t out_min;   // output limits, compare counts
    int32_t out_max;
} pid_ctrl_t;

// One controller step; call at a fixed period from a timer interrupt.
int32_t pid_step(pid_ctrl_t *c, int32_t setpoint, int32_t meas)
{
    int32_t err = setpoint - meas;
    int32_t p = c->kp * err;

    // Derivative of the measurement, not of the error: no kick on a setpoint step.
    // First-order low-pass filter: y += (x - y) / 4.
    int32_t d_raw = -c->kd * (meas - c->prev_meas);
    c->prev_meas = meas;
    c->d_filt += (d_raw - c->d_filt) / 4;

    int32_t integ_next = c->integ + c->ki * err;
    int32_t u = (p + integ_next + c->d_filt) / 256; // Q8 -> compare counts

    // Clamp the output. Keep the new integrator value only if it does not drive the
    // output further into the limit (conditional integration, AN532 and AN937).
    if (u > c->out_max) {
        u = c->out_max;
        if (err < 0) {
            c->integ = integ_next;
        }
    } else if (u < c->out_min) {
        u = c->out_min;
        if (err > 0) {
            c->integ = integ_next;
        }
    } else {
        c->integ = integ_next;
    }
    return u;
}

Контур скорости из примера: таймер энкодера читается раз в 1 мс, разность двух 16-битных значений счётчика правильна и при его переполнении — AN532 пользуется тем же свойством дополнительного кода.

#include <stdint.h>

// Board-specific, implemented elsewhere.
uint16_t encoder_count(void);         // timer counter in encoder mode, x4
void pwm_set_compare(int32_t value);  // 0..999
void irq_disable(void);
void irq_enable(void);

static pid_ctrl_t speed_pid = {
    .kp = 10 * 256, // 10 compare counts per count/ms of error
    .ki = 2 * 256,  // Ki * Ts = 2 per sample
    .kd = 0,        // speed loop without D, as in AN1078
    .out_min = 0,
    .out_max = 999,
};

static volatile int32_t speed_ref = 50; // counts per 1 ms: 1500 rpm at 2000 counts/rev
static uint16_t last_count;

// Call once before the 1 ms timer interrupt is enabled.
void speed_loop_init(void)
{
    last_count = encoder_count(); // no false speed step on the first tick
    speed_pid.prev_meas = 0;      // the shaft is at rest: measured speed 0
    speed_pid.integ = 0;
}

// Main-loop side: on an 8-bit MCU even one 32-bit volatile store is not atomic.
void speed_set(int32_t ref)
{
    irq_disable();                // board-specific, e.g. cli() on AVR
    speed_ref = ref;
    irq_enable();                 // e.g. sei()
}

// Timer update interrupt, every 1 ms (interrupts are off here, the read is safe).
void control_tick_1ms(void)
{
    uint16_t now = encoder_count();
    uint16_t diff = (uint16_t)(now - last_count); // modulo 2^16: correct across wrap-around
    int16_t speed = (int16_t)diff; // values above 32767 -> negative: implementation-defined
                                   // before C23, two's complement in GCC and C23
    last_count = now;
    pwm_set_compare(pid_step(&speed_pid, speed_ref, speed));
}

Задание speed_ref меняют из основной программы, а читают в прерывании, поэтому оно объявлено volatile. Но volatile не делает доступ атомарным: на 8-битном контроллере даже одна запись 32-битной переменной — несколько команд, и прерывание может прочитать половину старого и половину нового значения. Поэтому запись в speed_set() обёрнута запретом прерываний; так же защищают обновление нескольких связанных переменных (задание, коэффициенты) — см. статью «Прерывания и общие данные». Перед запуском таймера speed_loop_init() берёт last_count из текущего показания счётчика, иначе первый же период покажет ложную скорость. Приведение разности к int16_t для значений больше 32 767 до C23 определяется реализацией; GCC и Clang, как и C23, используют дополнительный код, но переносимый вариант — сравнить diff с 32 768 и вычесть 65 536 вручную. Для реверса выход делают знаковым (−999…999), а знак переводят в направление H-моста, как в управлении коллекторным двигателем. Сам pid_step() не зависит от железа, и его удобно проверить тестами на компьютере: подать последовательность измерений и сравнить выходы с расчётом.

Время расчёта невелико даже на 8-битных контроллерах: в AN937 полный ПИД на PIC18 занимает 437 тактов (43,7 мкс на 40 МГц), в AN532 — 0,2 мс на PIC17C42 с частотой 16 МГц.

Типичные ошибки

• Период вызова плавает. ПИД в loop() Arduino или в основном цикле с задержками получает разный Ts, и коэффициенты K_iT_s и K_d/T_s теряют смысл. Нужен таймер.
• Интегратор без защиты. Заторможенный вал, разгон с предельным током или выключенный драйвер — и после снятия помехи большой выброс скорости (AN532).
• D по ошибке и без фильтра. Каждый скачок задания и каждый отсчёт энкодера дают рывок выхода. Берите D по измерению с фильтром или откажитесь от неё в контуре скорости (AN1078).
• Переполнение в целых числах. Произведение коэффициента в Q8 на ошибку и сумма интегратора должны помещаться в int32; для выхода и интегратора полезна арифметика с насыщением.
• Внешний контур быстрее внутреннего. Регулятор положения с большим Kp при медленном контуре скорости раскачивает привод; настраивайте каскад изнутри наружу (Kuphaldt, разд. 31.2).
• Перепутан знак обратной связи. Если энкодер считает в обратную сторону, регулятор разгоняет двигатель до упора. Проверьте направление счёта при разомкнутом контуре, прежде чем включать регулятор.
• Слишком грубое измерение скорости. При малой скорости за период набегает один-два отсчёта, и регулятор работает почти вслепую. Увеличьте окно измерения или измеряйте период импульсов.