Модифицированный узловой анализ (MNA)

Как строится система

• Для каждого узла, кроме опорного, — уравнение первого закона Кирхгофа, как в обычном узловом методе: резисторы вносят свои проводимости в диагональ и вне диагонали, источники тока — свои токи в правую часть.
• Источник напряжения E между узлами a и b добавляет столбец со своим током в уравнения узлов a и b и отдельную строку V(a) − V(b) = E.
• Результат — одна линейная система относительно потенциалов узлов и токов источников; её решают методом Гаусса.

Курс MIT 6.01 описывает близкий метод NVCC, где неизвестны напряжения всех узлов и токи всех компонентов: n − 1 уравнений по закону токов и по одному на компонент. Он полностью общий, но, как пишут авторы, многословен и скорее подходит для компьютера. MNA сокращает его до необходимого: токи резисторов выражены через потенциалы, неизвестными остаются только токи источников напряжения.

Пример

Узел 1 соединён с землёй источником 15 В, между узлами 1 и 2 — резистор 3 Ом, от узла 2 к земле — резистор 2 Ом, и источник тока 10 А втекает в узел 2 (пример 6.4.3 MIT 6.01). Неизвестные: V₁, V₂ и ток источника напряжения. Строка источника сразу даёт V₁ = 15 В, уравнение узла 2 — (V₂ − 15)/3 + V₂/2 = 10, откуда V₂ = 18 В. Ток резистора 3 Ом получается −1 А, то есть течёт из узла 2 в узел 1, ток резистора 2 Ом — 9 А. Обычный узловой метод потребовал бы сначала догадаться, что V₁ известно.

Где встречается

На MNA построены SPICE-симуляторы — сокращение есть даже в перечне терминов руководства ngspice — и калькулятор цепей по Кирхгофу: он читает список соединений в формате SPICE, собирает систему и решает её с выбором ведущего элемента. Вклад каждого источника отдельно тот же калькулятор показывает по принципу наложения.