Перейти к содержанию

Метод узловых потенциалов

Один узел объявляют землёй, остальным присваивают неизвестные потенциалы и для каждого пишут баланс токов. Уравнений — на одно меньше, чем узлов, а коэффициенты читаются прямо со схемы. Этим методом считают цепи программы-симуляторы.

Обновлено Редакция GAW

Содержание

Метод узловых потенциалов (nodal analysis, node voltage method) — способ расчёта линейной цепи, в котором неизвестными берут напряжения узлов относительно одного опорного узла, а уравнения пишут по первому закону Кирхгофа, выражая токи ветвей через разности потенциалов и проводимости G = 1/R.

Правила Kuphaldt

  1. Источник напряжения с последовательным резистором заменить источником тока E/R с тем же резистором параллельно.
  2. Сопротивления заменить проводимостями в сименсах.
  3. Выбрать опорный узел E₀ (землю) и обозначить потенциалы остальных узлов E₁ … E_N.
  4. Для каждого узла записать уравнение: на диагонали — сумма проводимостей, подключённых к узлу, вне диагонали — проводимости между узлами со знаком минус, справа — ток источников тока, подключённых к узлу.
  5. Решить систему.

Пример

Источник 10 В через 2 Ом и источник −4 В через 1 Ом подключены к цепи из резисторов 4, 2,5 и 5 Ом между двумя узлами и землёй. После замены источников получаются токи 5 и −4 А, а проводимости складываются по узлам:

(0,5+0,25+0,4) E1−0,4 E2=5−0,4 E1+(0,4+0,2+1,0) E2=−4\begin{aligned} (0{,}5 + 0{,}25 + 0{,}4)\,E_1 - 0{,}4\,E_2 &= 5 \\ -0{,}4\,E_1 + (0{,}4 + 0{,}2 + 1{,}0)\,E_2 &= -4 \end{aligned}

Решение — E₁ = 3,8095 В и E₂ = −1,5476 В; Kuphaldt сверяет его с SPICE. Токи всех резисторов дальше находятся по закону Ома из разности потенциалов их выводов.

Почему этот метод выбирают программы

Уравнений на одно меньше, чем узлов, и их коэффициенты записываются механически — без выбора контуров и направлений обхода. В курсе MIT 6.01 узловой метод назван самым коротким, а его общий вариант, где неизвестны ещё и токи компонентов, — подходящим для компьютера. Источники напряжения без последовательного резистора в чистом узловом методе неудобны; их учитывает модифицированный узловой анализ, на котором построены SPICE и калькулятор цепей по Кирхгофу. Для плоских схем с одними источниками напряжения бывает короче метод контурных токов.

Частые вопросы

Как составить уравнения метода узловых потенциалов по виду схемы?

Выбрать опорный узел, перевести сопротивления в проводимости и для каждого узла записать строку: на диагонали — сумма проводимостей всех ветвей, подключённых к узлу, вне диагонали — проводимость между этим и другим узлом со знаком минус, справа — ток источников тока, втекающий в узел. Источник напряжения с последовательным резистором перед этим заменяют источником тока E/R с тем же резистором параллельно.

Сколько уравнений в методе узловых потенциалов?

На одно меньше, чем узлов: потенциал опорного узла равен нулю по определению. Для цепи с тремя узлами это два уравнения, независимо от того, сколько ветвей между ними. Поэтому метод выгоден для цепей с большим числом параллельных ветвей.

Что делать, если источник напряжения стоит между двумя узлами без резистора?

Его нельзя превратить в источник тока. Тогда либо объединяют два узла в «суперузел», либо вводят ток источника как дополнительную неизвестную и добавляют уравнение «разность потенциалов равна ЭДС». Второй путь — модифицированный узловой анализ, которым пользуются SPICE и наш калькулятор.

Источники

  1. Kuphaldt T. R. Lessons In Electric Circuits, Vol. I — DC, ch. 10 «DC Network Analysis», разд. «Node voltage method» (CC BY) — система уравнений KCL относительно напряжений узлов; источник напряжения с последовательным резистором заменяют источником тока с параллельным; сопротивления заменяют проводимостями G = 1/R в сименсах; правила: опорный узел E0, на диагонали — сумма проводимостей, подключённых к узлу, вне диагонали — минус проводимости между узлами, справа — ток источника тока, подключённого к узлу; пример: I1 = 10/2 = 5 А, I2 = −4/1 = −4 А, (0,5 + 0,25 + 0,4)E1 − 0,4E2 = 5, −0,4E1 + (0,4 + 0,2 + 1,0)E2 = −4, E1 = 3,8095 В, E2 = −1,5476 В, проверка SPICE
  2. MIT OpenCourseWare. 6.01SC Introduction to Electrical Engineering and Computer Science I, Spring 2011, course notes, ch. 6 «Circuits», разд. 6.4 — метод NVCC (переменные — напряжения всех узлов и токи всех компонентов) полностью общий, но многословен и больше подходит для компьютера; узловой метод (только напряжения узлов) короче, по одному уравнению на узел

Нашли ошибку?

Смотрите также