Перейти к содержанию

Метод контурных токов

Вместо тока каждой ветви вводят воображаемый ток каждого контура — ячейки схемы. Ток общего резистора двух контуров равен разности их токов. Уравнений столько, сколько ячеек, и пишутся они по одному правилу.

Обновлено Редакция GAW

Содержание

Метод контурных токов (mesh current method, loop current method) — способ расчёта линейной цепи, в котором неизвестными берут токи независимых контуров — «ячеек» плоской схемы, а уравнения пишут только по второму закону Кирхгофа. Ток реального элемента, общего для двух контуров, равен алгебраической сумме их контурных токов. По Kuphaldt, метод обычно требует меньше неизвестных, чем метод токов ветвей, потому что обходится без первого закона.

Пример

Батарея 28 В через резистор 4 Ом и батарея 7 В через резистор 1 Ом нагружены на общий резистор 2 Ом. Два контура — два уравнения: в первом контуре сумма сопротивлений 4 + 2 = 6 Ом, во втором 2 + 1 = 3 Ом, общее сопротивление 2 Ом. С учётом полярности батарей система 6·I₁ − 2·I₂ = 28, −2·I₁ + 3·I₂ = −7 даёт I₁ = 5 А и I₂ = 1 А. Через общий резистор контурные токи идут навстречу, поэтому его ток 5 − 1 = 4 А — тот же ответ, что и у метода токов ветвей, но из двух уравнений вместо трёх.

Уравнения «по виду схемы»

Если все контурные токи направить одинаково, коэффициенты подчиняются правилу, которое Kuphaldt называет «mesh current by inspection»:

  • на диагонали — сумма всех сопротивлений своего контура;
  • вне диагонали — общее сопротивление двух контуров со знаком минус;
  • в правой части — ЭДС источников, входящих в контур, со знаком по направлению обхода.

Матрица получается симметричной. Для неуравновешенного моста с источником 24 В у Kuphaldt она равна [300, −100, −150; −100, 650, −300; −150, −300, 450], и одна команда Octave x = A\b даёт три контурных тока: 93,793, 77,241 и 136,092 мА. Источник тока с параллельным резистором перед этим заменяют эквивалентным источником напряжения.

Когда выбирать

Метод удобен для плоских схем с источниками напряжения и небольшим числом ячеек, например для мостовых схем. Если источников тока много или схема неплоская, удобнее метод узловых потенциалов: им же считает калькулятор цепей по Кирхгофу, где можно сверить ответ.

Частые вопросы

Как найти ток общего резистора двух контуров?

Сложить контурные токи с учётом направлений. Если оба тока проходят резистор в одну сторону, они складываются, если навстречу — вычитаются. Kuphaldt рисует направления для потока электронов: ток первого контура 5 А идёт через общий резистор вверх, второго 1 А — вниз, итого 4 А вверх. В условном направлении тока, от плюса к минусу, всё наоборот: верхний узел находится под потенциалом +8 В относительно нижнего, и ток 4 А течёт через резистор 2 Ом вниз.

Как записать уравнения контурных токов без расстановки полярностей?

Направить все контурные токи в одну сторону и писать по виду схемы: на диагонали матрицы — сумма сопротивлений своего контура, вне диагонали — общее сопротивление пары контуров со знаком минус, в правой части — ЭДС источников контура со знаком по направлению обхода. Kuphaldt в разделе «Mesh current by inspection» направляет все токи против часовой стрелки.

Что делать с источником тока в методе контурных токов?

Проще всего преобразовать его вместе с параллельным резистором в эквивалентный источник напряжения с последовательным резистором — так и рекомендует Kuphaldt. Если источник тока стоит в ветви, принадлежащей одному контуру, ток этого контура просто известен, и уравнение для него не нужно.

Источники

  1. Kuphaldt T. R. Lessons In Electric Circuits, Vol. I — DC, ch. 10 «DC Network Analysis», разд. «Mesh current method», «Mesh Current, conventional method», «Mesh current by inspection» (CC BY) — метод, называемый также Loop Current Method, использует только KVL и закон Ома, обычно с меньшим числом неизвестных, чем метод токов ветвей; пример с батареями 28 и 7 В: контурные токи 5 и 1 А, ток общего резистора R2 — 4 А; правила «по виду схемы»: на диагонали — суммы сопротивлений контуров, вне диагонали — минус общие сопротивления пар контуров, справа — ЭДС источников; неуравновешенный мост 24 В: матрица [300, −100, −150; −100, 650, −300; −150, −300, 450], решение в Octave x = A\b — 0,093793, 0,077241, 0,136092 А
  2. Kuphaldt T. R. Lessons In Electric Circuits, Vol. I — DC, ch. 6 «Divider Circuits and Kirchhoff's Laws» (CC BY) — разд. «Kirchhoff's Voltage Law (KVL)»: алгебраическая сумма напряжений в контуре равна нулю; начальная точка и направление обхода не влияют на результат

Нашли ошибку?

Смотрите также