Расчёт цепи методом узловых потенциалов

Как описать схему

Схема записывается списком элементов, по одному на строке, как в SPICE: имя, два узла и номинал.

Узлы называют числами или словами из латинских букв (in, out, n1); регистр, как в SPICE, не важен: Out и OUT — один узел. Один узел — земля: 0 или gnd; напряжения всех остальных отсчитываются от него. Номиналы пишут с приставками, как в остальных калькуляторах сайта: 4k7, 2,2k, 10m (милли), 1meg или 1M (мега), 1T (тера). Комментарий — строка, которая начинается с *, или остаток строки после ;; строки с точкой (.dc, .print, .end) пропускаются.

Список из учебника или из LTspice обычно нужно поправить. Убирают строку с заголовком — в SPICE первая строка всегда название схемы. Источник, напряжение которого задано директивой .dc (у Kuphaldt — v1 1 0 и .dc v1 28 28 1), получает номинал прямо в своей строке: V1 1 0 28. И главное отличие: в SPICE заглавная M означает милли, а здесь — мега, как везде на сайте; мегаомы надёжнее записывать как meg, а милли — строчной m.

Метод узловых потенциалов

Для каждого узла, кроме земли, записывают первый закон Кирхгофа: токи, вытекающие из узла через резисторы, в сумме равны току, который втекает в узел из источников тока. Ток резистора выражают через напряжения узлов по закону Ома, I = G (U_k − U_m), где G = 1/R — проводимость. Для двух узлов получается система

Kuphaldt формулирует правило записи «на глаз»: на диагонали стоит сумма проводимостей, подключённых к узлу, вне диагонали — проводимости между узлами со знаком минус, справа — токи источников, втекающие в узел. Пример из его книги: после замены источников 10 и −4 В с последовательными резисторами на источники тока 5 и −4 А система принимает вид 1,15 U₁ − 0,4 U₂ = 5, −0,4 U₁ + 1,6 U₂ = −4, и ответ — 3,8095 и −1,5476 В.

Источник напряжения так не записать: его ток не выражается через напряжения. Поэтому калькулятор, как и SPICE, добавляет ток каждого источника напряжения в число неизвестных, а в систему — уравнение U₊ − U₋ = E. В курсе MIT 6.01 этот подход называется NVCC: неизвестны напряжения всех узлов и токи компонентов, уравнений — по одному на узел без земли и на компонент. Матрица получается размером «узлы + источники напряжения», и для цепей до 12 узлов решается мгновенно.

Проверки

• Баланс мощности. Мощность каждого элемента — произведение напряжения на нём на ток из первого вывода во второй. У резисторов она положительна, у источников, отдающих энергию, — отрицательна. Сумма всех мощностей равна нулю, поэтому отданная мощность совпадает с потреблённой.
• Наложение. В линейной цепи ток и напряжение любого элемента — сумма вкладов от каждого источника, действующего отдельно. Kuphaldt формулирует правило: остальные источники напряжения заменяют перемычками, источники тока — разрывами. Калькулятор решает цепь столько раз, сколько в ней источников, и показывает вклады в отдельной таблице; их сумма совпадает с полным решением.
• Ошибки схемы. Узел без пути к земле через резисторы и источники напряжения не имеет определённого потенциала — калькулятор назовёт его. Два источника напряжения параллельно или в замкнутом контуре дают неопределённые токи — это тоже ошибка, а не результат.
• Точность. Система решается в числах двойной точности, около 16 значащих цифр, с выбором ведущего элемента по масштабу строки — поэтому рядом могут стоять резисторы 1 Ом и 1 ТОм. Ток резистора считается как разность напряжений узлов, делённая на сопротивление: если оба узла под большим напряжением и почти равны, часть цифр теряется при вычитании — у узлов 1000 В, различающихся на 1 мкВ, ток верен примерно до седьмого знака.

Пример: две батареи и три резистора

Пример Kuphaldt для метода токов ветвей: батарея 28 В в узле 1, батарея 7 В в узле 3, резисторы 4 Ом (1–2), 2 Ом (2–0) и 1 Ом (2–3). Ответ, проверенный в книге моделированием SPICE: на R1 — 20 В, на R2 — 8 В, на R3 — 1 В; токи 5, 4 и 1 А.

Баланс мощности (наш расчёт): батарея 28 В отдаёт 28 · 5 = 140 Вт. Резисторы рассеивают 100 + 32 + 1 = 133 Вт, а оставшиеся 7 Вт уходят в батарею 7 В — ток 1 А втекает в её плюс, она заряжается. Наложение: батарея 28 В одна даёт в узле 2 напряжение 4 В, батарея 7 В одна — тоже 4 В, вместе — 8 В.

Если вас интересует только то, что видит нагрузка между двумя выводами схемы, удобнее эквивалент: калькулятор Тевенина и Нортона сводит схему к одному источнику с внутренним сопротивлением. Сами правила узлов и контуров с правилами знаков — в статье «Правила Кирхгофа», простые соединения резисторов — в калькуляторе последовательного и параллельного соединения.