Перейти к содержанию

Правила Кирхгофа

Два правила Кирхгофа — основа расчёта любой электрической цепи, которую нельзя свести к последовательным и параллельным соединениям. Первое следует из сохранения заряда, второе — из сохранения энергии. Разбираем формулировки, правила знаков и расчёт цепи с двумя источниками, где один из токов неожиданно оказывается отрицательным.

Обновлено Редакция GAW

Содержание

Цепь из последовательных и параллельных соединений рассчитывается законом Ома и правилами сложения сопротивлений. Но как только в схеме появляются несколько источников или мост из резисторов, свести её к одному эквивалентному сопротивлению нельзя. Тогда работают два правила Густава Кирхгофа.

Первое правило: токи в узле

Узел — точка, где соединяются три и более проводника. Ток — это поток заряда, а заряд не накапливается в узле и не исчезает, поэтому сколько заряда втекает в узел, столько и вытекает:

∑Iвтек=∑Iвытекили∑kIk=0\sum I_\text{втек} = \sum I_\text{вытек} \qquad \text{или} \qquad \sum_k I_k = 0

Во второй записи втекающие токи считают со знаком плюс, вытекающие — со знаком минус.

Второе правило: напряжения в контуре

Контур — любой замкнутый путь по ветвям цепи. Обойдя контур и вернувшись в исходную точку, заряд оказывается при том же потенциале, поэтому алгебраическая сумма напряжений по контуру равна нулю: ЭДС источников уравновешиваются падениями напряжения на элементах.

∑kUk=0\sum_k U_k = 0

Знаки при обходе контура (OpenStax, University Physics, раздел 10.3):

Элемент при обходеЗнак напряжения
Резистор по направлению тока−I · R
Резистор против направления тока+I · R
Источник от минуса к плюсу+E
Источник от плюса к минусу−E

Порядок расчёта

  1. Обозначить узлы и выбрать направления токов в ветвях — произвольно; если направление угадано неверно, ток получится отрицательным.
  2. Записать уравнения по первому правилу для всех узлов, кроме одного.
  3. Выбрать контуры так, чтобы каждая ветвь вошла хотя бы в один, и записать уравнения по второму правилу с учётом знаков.
  4. Решить систему: уравнений должно быть столько же, сколько неизвестных токов.

Пример: два источника на одну нагрузку

Источник 12 В с внутренним сопротивлением 100 Ом и источник 5 В с сопротивлением 50 Ом подключены параллельно к нагрузке 200 Ом. Обозначим напряжение на нагрузке U и выберем направления токов I1 и I2 от источников к нагрузке, I3 — через нагрузку. По второму правилу для каждого источника I1 = (12 − U) / 100, I2 = (5 − U) / 50, а I3 = U / 200. По первому правилу для узла I1 + I2 = I3:

12−U100+5−U50=U200⇒U=447≈6,29 В\frac{12 - U}{100} + \frac{5 - U}{50} = \frac{U}{200} \quad \Rightarrow \quad U = \frac{44}{7} \approx 6{,}29\ \text{В}
ТокЗначениеЧто означает
I1+57,1 мАисточник 12 В отдаёт ток
I2−25,7 мАток течёт в источник 5 В
I3+31,4 мАток нагрузки

Проверка по первому правилу: 57,1 − 25,7 = 31,4 мА. Отрицательный I2 — не ошибка: источник 5 В не помогает питать нагрузку, а сам принимает ток от более высокого напряжения. Поэтому источники разного напряжения нельзя просто соединять параллельно — например, питание от USB и от адаптера объединяют через диоды.

Где правила Кирхгофа встречаются каждый день

  • Делитель напряжения — второе правило для одного контура: напряжения на двух резисторах в сумме дают входное. Расчёт с нагрузкой — в калькуляторе делителя.
  • Параллельное соединение — первое правило: ток источника делится между ветвями. Эквивалентное сопротивление считает калькулятор соединений, отдельные токи и напряжения — калькулятор закона Ома.
  • Операционный усилитель. Инвертирующий усилитель рассчитывают по первому правилу для узла на инвертирующем входе: в идеальный ОУ ток не втекает, поэтому ток через R1 равен току через R2, отсюда K = −R2 / R1. Подробнее — в статье «Операционный усилитель».

Частые вопросы

Как звучит первое правило Кирхгофа?

Сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из него. Иначе: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю, если втекающие считать со знаком плюс, а вытекающие — со знаком минус. Это следствие сохранения заряда: заряд в узле не накапливается и не исчезает.

Как звучит второе правило Кирхгофа?

Алгебраическая сумма напряжений в любом замкнутом контуре равна нулю: ЭДС источников, которые встречаются при обходе контура, равны сумме падений напряжения на элементах. Это следствие сохранения энергии: заряд, обойдя контур и вернувшись в исходную точку, имеет тот же потенциал.

Что значит, если ток получился отрицательным?

Что он течёт в сторону, противоположную выбранной стрелке. Направления токов в начале расчёта выбирают произвольно, и ошибкой это не является: знак результата сам покажет настоящее направление. Отрицательный ток через источник напряжения часто означает, что источник не отдаёт, а принимает ток — например, батарея заряжается.

Сколько уравнений нужно составить?

Столько, сколько неизвестных токов. Для цепи с n узлами независимых уравнений по первому правилу n − 1, остальные дают контуры, причём каждый новый контур должен включать хотя бы одну ветвь, не вошедшую в предыдущие. Часто удобнее метод узловых потенциалов: неизвестными берут напряжения узлов, и уравнений становится меньше.

Источники

  1. OpenStax. University Physics Volume 2, section 10.3: Kirchhoff's Rules — правило узлов из сохранения заряда, правило контуров из сохранения энергии, порядок расчёта и правила знаков
  2. Horowitz P., Hill W. The Art of Electronics. 3rd ed. Cambridge University Press, 2015 — глава 1: законы Кирхгофа, делители напряжения, эквивалентные схемы

Нашли ошибку?

Смотрите также