Переменный ток: основы

Синусоида: амплитуда, частота и фаза

Мгновенное значение синусоидального напряжения:

Здесь U_m — амплитуда (пиковое значение), f — частота в герцах, T = 1/f — период, ω — угловая частота в радианах в секунду, φ — начальная фаза. Один период — полный оборот, 360° или 2π радиан. Для сети 50 Гц период равен 20 мс, а ω ≈ 314,16 рад/с; за период напряжение дважды проходит через ноль, то есть 100 раз в секунду.

Kuphaldt (гл. 1.3) перечисляет четыре способа выразить «величину» переменного напряжения: пиковое значение — от нуля до вершины; размах — от нижней вершины до верхней; среднее значение — у симметричного сигнала оно равно нулю, поэтому на практике берут среднее модуля, или средневыпрямленное; и действующее значение.

Действующее значение (RMS)

Действующее значение — такое постоянное напряжение, которое выделило бы в том же резисторе ту же мощность. Kuphaldt поясняет это на примере: 10 В переменного действующего на резисторе 2 Ом выделяют 50 Вт, как и батарея 10 В. Английское название RMS (root mean square, корень из среднего квадрата) описывает и сам расчёт — возвести мгновенные значения в квадрат, усреднить за период и извлечь корень:

Для синусоиды интеграл даёт $U = U_m/\sqrt{2} \approx 0{,}707\,U_m$, а средневыпрямленное значение — 2U_m/π ≈ 0,637 U_m (Kuphaldt, рис. 1.21; Keysight 5988-6916, с. 2). Их отношения имеют собственные имена: коэффициент амплитуды — пик к действующему значению, коэффициент формы — действующее к средневыпрямленному.

Коэффициенты по Kuphaldt (рис. 1.21) и Keysight (с. 6). Они верны только для идеальной формы: у искажённого сигнала связи между пиком, средним и действующим значением нет.

Пример: сеть 230 В (собственный расчёт). Если 230 В — действующее значение, то амплитуда $230 \cdot \sqrt{2} \approx 325{,}3$ В, размах около 650,5 В, средневыпрямленное значение около 207,1 В. Подробнее о том, на что рассчитывать детали, — в ответе «Какое амплитудное напряжение в розетке».

Какое значение нужно, зависит от задачи. Нагрев проводов, резисторов и обмоток определяется действующим значением тока, а пробой изоляции — пиковым напряжением (Kuphaldt, гл. 1.3). Если в расчёте источник задан в действующих значениях, то и все токи и напряжения получатся действующими; смешивать в одной формуле пиковые и действующие величины нельзя (Kuphaldt, гл. 1.4). По умолчанию переменные напряжения и токи указывают действующими.

Почему мультиметры показывают по-разному

Стрелочный прибор и простой цифровой мультиметр реагируют на средневыпрямленное значение, а шкалу градуируют в действующих значениях синусоиды — то есть умножают среднее на 1,1107 (Kuphaldt, гл. 1.3; Keysight 5988-6916). На меандре с амплитудой 10 В действующее значение равно 10 В, а такой прибор покажет около 11,1 В — на 11 % больше. Прибор с True RMS вычисляет действующее значение по определению и от формы сигнала зависит гораздо меньше.

У многих мультиметров вход V~ закрыт по постоянному току. Если у сигнала есть постоянная составляющая, полное действующее значение складывают как катеты: $U = \sqrt{U_{\sim}^2 + U_{=}^2}$ (Keysight 5988-6916, с. 9). Например, 3 В переменной составляющей поверх 4 В постоянного дают 5 В действующего. Пересчитать пиковое, действующее и среднее значения для разных форм сигнала можно в калькуляторе RMS, а как правильно измерять — в ответе «Как измерить напряжение мультиметром?».

Сдвиг фаз

Два сигнала одной частоты могут быть сдвинуты во времени: вершины и нули одного приходят раньше, чем у другого. Сдвиг измеряют в градусах периода; тот сигнал, что идёт впереди, опережает, второй — отстаёт (Kuphaldt, гл. 1.5). Абсолютной фазы не бывает: её всегда отсчитывают от какого-то сигнала, обычно от напряжения источника.

Сдвиг по времени связан с углом простой пропорцией (собственный пересчёт): $\Delta t = \dfrac{\varphi}{360^\circ}\,T$. Сдвиг 45° на 50 Гц — это 2,5 мс, а на 1 кГц — 125 мкс.

Из-за сдвига складывать переменные напряжения как числа нельзя: два напряжения по 1 В, сдвинутые на 90°, в сумме дают не 2 В, а 1,41 В. Чтобы учитывать и величину, и фазу, используют векторы, или комплексные числа.

Реактивное сопротивление катушки и конденсатора

Напряжение на катушке пропорционально скорости изменения тока, u = L di/dt. На синусоиде это значит, что напряжение максимально, когда ток проходит через ноль, и ток катушки отстаёт от напряжения на 90° (Kuphaldt, гл. 3.2). У конденсатора наоборот: ток пропорционален скорости изменения напряжения, и ток опережает напряжение на 90° (гл. 4.2). Сопротивление переменному току, которое при этом возникает, называют реактивным:

Сопротивление катушки растёт с частотой, конденсатора — падает (Keysight 5950-3000, с. 6). Действующий ток через реактивный элемент находят по закону Ома: I = U/X.

Примеры (собственный расчёт; формулы сверены с табл. 3.1 для 10 мГн и 4.1 для 100 мкФ у Kuphaldt на 60 Гц):

• катушка 10 мГн: на 50 Гц — 3,14 Ом, на 1 кГц — 62,8 Ом;
• конденсатор 100 нФ: на 50 Гц — 31,8 кОм, на 1 кГц — 1,59 кОм;
• конденсатор 0,47 мкФ на 50 Гц — 6,77 кОм. Если включить его последовательно с нагрузкой в сеть 230 В, ток будет около 34 мА, а при напряжении сети на 10 % выше номинала — около 37 мА. На этом построен бестрансформаторный блок питания с гасящим конденсатором; такая схема не изолирована от сети.

Реактивные сопротивления распространённых номиналов:

Идеальные катушка и конденсатор энергию не рассеивают: четверть периода они запасают её в магнитном или электрическом поле, следующую четверть возвращают источнику (Kuphaldt, гл. 3.2). Ток через них течёт, провода он нагревает, но средняя мощность самого элемента равна нулю. У реальных деталей есть потери — сопротивление провода катушки, ESR конденсатора; о них — в статьях «Конденсаторы» и «Катушки индуктивности».

Импеданс

Импеданс, или полное сопротивление, объединяет активное и реактивное сопротивления в одно комплексное число (Keysight 5950-3000, с. 5):

Мнимая единица j (в электротехнике не i, чтобы не путать с током) означает сдвиг на 90°. Для катушки X = +X_L, для конденсатора X = −X_C. Угол φ показывает, на сколько напряжение опережает ток: у индуктивной цепи он положительный, у ёмкостной — отрицательный. Закон Ома в комплексной форме U = I · Z остаётся верным для любых цепей переменного тока (Kuphaldt, гл. 3.3), а правила соединения те же, что и для резисторов: последовательные импедансы складываются, у параллельных складываются проводимости Y = 1/Z — их удобнее описывать через проводимость (Keysight, рис. 1-2).

Пример: RC-цепь на 1 кГц (собственный расчёт). Резистор 1,6 кОм и конденсатор 100 нФ включены последовательно, на цепь подано 1 В действующего на частоте 1 кГц.

1. X_C = 1/(2π · 1000 · 100 · 10⁻⁹) ≈ 1591,5 Ом, поэтому Z = 1600 − j1591,5 Ом.
2. $|Z| = \sqrt{1600^2 + 1591{,}5^2} \approx 2256{,}8$ Ом, $\varphi = \operatorname{arctg}(-1591{,}5/1600) \approx -44{,}85^\circ$: ток опережает напряжение почти на 45°.
3. Ток I = 1 В/2256,8 Ом ≈ 0,443 мА.
4. Напряжение на резисторе I · R ≈ 0,709 В, на конденсаторе I · X_C ≈ 0,705 В.

Сумма показаний двух вольтметров — 1,41 В при 1 В на входе. Ошибки нет: напряжения на R и C сдвинуты на 90° и складываются как катеты, $\sqrt{0{,}709^2 + 0{,}705^2} = 1$ В. Эта же цепь — RC-фильтр нижних частот с частотой среза 1/(2πRC) ≈ 995 Гц: на частоте среза выходное напряжение составляет 0,707 входного, а сдвиг фаз — 45°.

Модуль, фазу и проводимость своих RLC-цепей на любой частоте считает калькулятор импеданса, резонанс LC-контура — калькулятор LC-контура, частоту среза — калькулятор RC-фильтра. Фильтры подробно разобраны в статье «Аналоговые фильтры».

Мощность в цепи переменного тока

Мгновенная мощность — произведение мгновенных тока и напряжения, p = u · i. В резисторе она всегда положительна. В катушке или конденсаторе половину времени она отрицательна: элемент возвращает энергию источнику. В цепи из R и X положительная часть больше отрицательной, и в среднем нагрузка потребляет энергию (Kuphaldt, гл. 11.1). Отсюда три мощности (гл. 11.2):

Три мощности образуют прямоугольный треугольник: S² = P² + Q², а угол между P и S равен углу импеданса φ. Коэффициент мощности — отношение активной мощности к полной (Kuphaldt, гл. 11.3):

Пример: индуктивная нагрузка в сети (собственный расчёт; та же схема с 120 В и 60 Гц разобрана у Kuphaldt, гл. 11.2–11.3, наши формулы дают его результаты). Нагрузка — резистор 60 Ом последовательно с катушкой 160 мГн, сеть 230 В, 50 Гц.

1. X_L = 2π · 50 · 0,16 ≈ 50,27 Ом, $|Z| = \sqrt{60^2 + 50{,}27^2} \approx 78{,}27$ Ом.
2. Ток I = 230/78,27 ≈ 2,94 А.
3. Активная мощность P = I²R ≈ 518 Вт, реактивная Q = I²X_L ≈ 434 вар, полная S = UI ≈ 676 ВА.
4. PF = 518/676 ≈ 0,77, ток отстаёт от напряжения примерно на 40°.

Если бы та же активная мощность бралась при cos φ = 1, ток был бы 518/230 ≈ 2,25 А вместо 2,94 А. Ток в проводке на 30 % больше, а потери в ней, пропорциональные квадрату тока, — в 1,7 раза больше, хотя полезной работы не прибавилось (Kuphaldt, гл. 11.3; числа — собственный расчёт). Реактивная составляющая тока, $I \sin\varphi$, при этом около 1,89 А.

Компенсация. Индуктивную реактивную мощность может скомпенсировать только ёмкостная — конденсатор параллельно нагрузке (Kuphaldt, гл. 11.3). Нужная ёмкость: C = Q/(2πfU²) = 434/(314,16 · 230²) ≈ 26,1 мкФ. С ближайшим меньшим номиналом 22 мкФ ток из сети упадёт с 2,94 до 2,27 А, а коэффициент мощности вырастет до 0,99; ток в самой нагрузке и её мощность при этом не меняются. Для работы прямо от сети нужен конденсатор с номиналом по переменному напряжению — обычно плёночный; общие свойства плёночных конденсаторов описаны в статье «Конденсаторы», но конденсаторов для компенсации и для двигателей она не касается. Параллельно такому конденсатору ставят разрядный резистор: если отключить нагрузку на вершине синусоиды, в 22 мкФ останется до 325 В и около 1,16 Дж (собственный расчёт), и это напряжение окажется на штырях вилки. Монтаж — только при отключённой сети.

Несинусоидальный ток: почему cos φ мало

Формула PF = cos φ верна, только когда и ток, и напряжение синусоидальны — то есть нагрузка линейная, из резисторов, катушек и конденсаторов (onsemi HBD853, с. 9). Выпрямитель с конденсатором на входе импульсного блока питания так не работает: конденсатор подзаряжается только около вершины синусоиды, и ток идёт короткими импульсами шириной 10–20 % периода, в 5–10 раз больше среднего. Фаза этих импульсов совпадает с фазой напряжения, но коэффициент мощности примера в справочнике onsemi — около 0,6.

В общем случае коэффициент мощности — произведение двух множителей (onsemi, с. 10): коэффициента сдвига cos φ основной гармоники и коэффициента искажения, который зависит от доли высших гармоник в токе. Если сдвига почти нет, $\mathrm{PF} = 1/\sqrt{1 + \mathrm{THD}^2}$, где THD — коэффициент гармонических искажений тока в относительных единицах. При THD = 100 % получается PF ≈ 0,71, при 30 % — 0,96 (собственный расчёт). Поэтому в Европе и Японии для большинства приборов мощностью от 75 Вт стандарт IEC 61000-3-2 ограничивает гармоники тока, и блоки питания ставят корректор коэффициента мощности (onsemi, с. 9). Сам выпрямитель с конденсатором разобран в статье «Диодный мост и конденсатор фильтра».

Как измерять

• Действующее значение — мультиметром с True RMS, если форма может отличаться от синусоиды; у простого прибора показание верно только на синусе.
• Пик и размах — осциллографом. Сетевое напряжение подключать к осциллографу напрямую опасно: почему и как это делают — в ответе «Можно ли осциллографом измерять сетевое напряжение».
• Фазу — осциллографом по сдвигу нулей двух сигналов, пересчитав время в градусы: $\varphi = 360^\circ \cdot \Delta t / T$.
• Активную мощность — ваттметром: произведение действующих U и I даёт только полную мощность.

Типичные ошибки

• Пиковое и действующее значения в одной формуле. Конденсатор после выпрямителя сети заряжается до амплитуды, а не до 230 В; ток в проводе считают по действующему значению.
• Арифметическое сложение напряжений. На R и C последовательной цепи вольтметр покажет больше, чем на входе: напряжения складываются с учётом фазы.
• P = U·I для мотора, дросселя или блока питания. Это полная мощность в вольт-амперах; активная меньше в cos φ раз, а при несинусоидальном токе — в PF раз.
• cos φ как единственный показатель. У выпрямителя с конденсатором ток и напряжение в фазе, но коэффициент мощности около 0,6 из-за формы тока.
• Простой мультиметр на ШИМ и импульсах. Он рассчитан на синусоиду и на других формах ошибается.
• Реактивное сопротивление без частоты. «Конденсатор 100 нФ — это сколько ом?» — 31,8 кОм на 50 Гц и 1,59 кОм на 1 кГц.

Калькуляторы

• Пиковое, действующее и среднее значение — пересчёт для синуса, меандра, импульсов и выпрямленного напряжения, показания мультиметров.
• Импеданс RLC-цепи — модуль, фаза, проводимость и добротность на заданной частоте.
• LC-контур — реактивные сопротивления и резонансная частота.
• RC-фильтр — частота среза и сдвиг фаз.
• Гасящий конденсатор — бестрансформаторный блок питания от сети.
• Децибелы — отношения напряжений и мощностей в дБ.

Как переменный ток преобразуют по напряжению и почему трансформатор работает только на переменном, — в статье «Трансформаторы».