Генераторы колебаний

Условие генерации

Усилитель с коэффициентом A и цепь обратной связи с коэффициентом β образуют петлю. Обойдя её, сигнал умножается на петлевое усиление Aβ. Генерация возникает на частоте, где выполняются два условия Баркгаузена (Microchip AN826, с. 2):

• модуль петлевого усиления не меньше единицы — при запуске больше, в установившемся режиме ровно единица;
• полный сдвиг фазы по петле кратен 360°.

TI в SLOA060 записывает то же условие для схемы с отрицательной обратной связью как Aβ = −1, то есть $1\angle{-180^\circ}$: ещё 180° даёт вычитание сигнала обратной связи на входе, и по петле снова набирается 360°. Для схемы с положительной обратной связью TI записывает условие как $A\beta = 1\angle 0^\circ$. Это одно условие, записанное для разных схем включения.

При запуске амплитуда растёт из шума, а останавливает её рост нелинейность: у напряжения питания усиление падает и петлевое усиление само становится равным единице (TI SLOA060, разд. 3; AN826, с. 2). Отсюда противоречие, которое TI называет прямо: для надёжного запуска при разбросе деталей нужен запас усиления, а лишнее усиление искажает синусоиду (разд. 5). Если усилитель надолго уходит в насыщение и потом резко переключается, получается уже не синусоида, а релаксационные колебания, близкие к прямоугольным.

Стабильность частоты определяется тем, насколько круто меняется фаза цепи обратной связи с частотой (TI SLOA060, разд. 4). Если фаза меняется круто, то любой паразитный сдвиг в усилителе почти не сдвигает частоту, на которой выполняется условие 360°. У одной RC-цепочки фаза меняется плавно, у LC-контура — круче, у кварца — очень круто. Поэтому точность генераторов различается на порядки.

RC-генераторы

Одно RC-звено сдвигает фазу не больше чем на 90°, поэтому для 180° нужно минимум два звена, а на практике берут три или четыре: крутизна фазы, а с ней и стабильность частоты, растут с числом звеньев (TI SLOA060, разд. 4). RC-генераторы на операционных усилителях работают на звуковых и низких частотах: на высоких сам ОУ вносит заметный сдвиг фазы.

Мост Вина

В генераторе на мосте Вина последовательная и параллельная RC-цепи с одинаковыми R и C подают сигнал на неинвертирующий вход ОУ. На частоте

цепь не сдвигает фазу и ослабляет сигнал в 3 раза, β = 1/3. Значит, усилитель должен усиливать ровно в 3 раза: R_F = 2R_G в цепи отрицательной обратной связи (TI SLOA060, разд. 8.1).

Пример TI. R = 10 кОм, C = 10 нФ, RF = 20 кОм, RG = 10 кОм. Расчётная частота — 1,59 кГц (наш пересчёт: 1591,5 Гц), измеренная — 1,57 кГц из-за разброса деталей. Сигнал при этом упирался в напряжение питания, и искажения составили 2,8 %. Когда RF уменьшили всего на 0,8 %, генерация прекратилась. Поэтому в мост Вина добавляют автоматическую регулировку усиления: лампу накаливания вместо RG — её сопротивление растёт с нагревом, то есть с амплитудой, — или диоды в цепи обратной связи, которые с ростом амплитуды открываются сильнее и уменьшают своё сопротивление. В обоих случаях усиление удерживается около трёх (SLOA060, разд. 8.1).

Фазосдвигающий генератор

Три одинаковых RC-звена дают 180° на частоте, где каждое сдвигает фазу на 60°; вместе с инвертирующим усилителем получается 360°. Если звенья развязаны буферами, это происходит при $\omega = \sqrt{3}/(RC)$, а сигнал ослабляется в 8 раз, поэтому нужно усиление 8 (TI SLOA060, разд. 8.2). Для R = 10 кОм и C = 10 нФ это 2,76 кГц. Без буферов звенья нагружают друг друга: в опыте TI тот же генератор на одном ОУ работал на 3,76 кГц и запускался только при усилении 27, а с буферами — на 2,9 кГц при усилении 8,33 (разд. 8.2–8.3).

LC-генераторы

Колебательный контур из катушки и конденсатора резонирует на частоте

Его добротность Q = X/R задаёт полосу BW = f₀/Q (Microchip AN826, с. 3). Хороший LC-контур имеет Q около 200 (AN826, с. 7), то есть полосу порядка 0,5 % от резонансной частоты. LC-генераторы применяют на высоких частотах, где катушки малы; на низких они большие, дорогие и далеки от идеала (TI SLOA060, разд. 4).

У схем LC-генераторов много имён — Колпитц, Хартли, Клапп, Пирс, — но многие из них отличаются лишь тем, какая точка схемы соединена с общим проводом по высокой частоте (AN826, с. 3). В схеме Колпитца обратную связь даёт ёмкостный делитель из двух конденсаторов C2 и C3 (AN826, с. 3), а частоту задаёт катушка вместе с ними (с. 4). Поскольку для контура эти конденсаторы включены последовательно, в формулу частоты входит их последовательная ёмкость C₂C₃/(C₂ + C₃) (наш вывод из той же формулы контура). Пример (наш расчёт): катушка 10 мкГн и два конденсатора по 200 пФ, то есть 100 пФ последовательно, дают 5,03 МГц; при Q = 200 полоса контура — около 25 кГц.

Резонансную частоту и реактивные сопротивления контура считает калькулятор LC-контура, а сами контуры разобраны в статье «Переменный ток» и в словарной статье «Резонанс». Главный недостаток LC-генератора, по AN826, — уход частоты с температурой, напряжением питания и от вибрации; иногда его приходится подстраивать вручную.

Кварцевые генераторы

Кварцевый резонатор — пластинка кварца с электродами. Кварц — пьезоэлектрик, и механические колебания пластинки проявляются на электродах как электрический резонанс. Его описывают схемой замещения: последовательная «динамическая» ветвь из L1, C1 и R1 и параллельная ёмкость C0 электродов и корпуса (Microchip AN826, с. 4–5). У кварца два резонанса — последовательный и параллельный:

Пример AN826. Кварц 8 МГц со схемой замещения C0 = 4,5 пФ, C1 = 0,018 пФ, L1 = 22 мГн, R1 = 30 Ом имеет f_s = 7 997 836,8 Гц и f_a = 8 013 816,5 Гц. Наш пересчёт даёт те же значения; между двумя резонансами всего 16 кГц, или 0,2 %. Добротность Q = 2πf_sL₁/R₁ — около 37 000 (наш расчёт). Между f_s и f_a кварц ведёт себя как индуктивность, и именно в этой узкой области работает генератор (AN826, с. 6).

Почему кварц точнее. Добротность обычных кварцев — от 20 000 до 200 000, тогда как у хорошего LC-контура около 200 (AN826, с. 7). Поэтому TI называет кварцевые и керамические резонаторы самыми стабильными задающими элементами (SLOA060, разд. 4). Microchip в AN826 (2002) называет практический диапазон AT-кварцев на основной частоте от 600 кГц до 30 МГц: более высокочастотные пластинки слишком тонкие и хрупкие, и выше используют механические гармоники — обертоны (с. 4). Современные кварцы заходят дальше: Abracon ABM3 работает на основной частоте до 54 МГц и на третьем обертоне — до 80 МГц.

Нагрузочная ёмкость. «Параллельный» кварц рассчитан на работу с определённой ёмкостью, подключённой к его выводам, — нагрузочной ёмкостью CL (AN826, с. 7). Конструктивно последовательный и параллельный кварцы одинаковы, различается только частота, на которую их настраивают при производстве. Если ёмкость в схеме отличается от указанной, частота уходит. Для кварца из примера AN826 мы посчитали: при изменении CL с 13 до 14 пФ частота уменьшается примерно на 28 ppm. ST приводит пример кварца с чувствительностью 45 ppm/пФ (AN2867, разд. 3.7). Подробнее — в словарной статье «Чувствительность кварца к нагрузке».

Схема Пирса в микроконтроллере

Генератор внутри микроконтроллеров — схема Пирса: инвертор с резистором обратной связи внутри кристалла, а снаружи кварц между двумя выводами и по конденсатору от каждого вывода на общий провод (AN826, с. 3; ST AN2867, разд. 3.1). Инвертор даёт сдвиг 180°, кварц с конденсаторами — ещё 180°. Конденсаторы вместе с ёмкостью выводов и платы образуют нагрузочную ёмкость кварца.

Генератор должен иметь запас по усилению. ST в AN2867 (разд. 3.4) даёт два варианта проверки в зависимости от того, что указано в даташите микроконтроллера: если указана крутизна инвертора gm, отношение gm к критической крутизне кварца gmcrit должно быть больше 5; если указан максимальный допустимый параметр Gm_crit_max, критическая крутизна кварца должна быть меньше его. Готовую плату проверяют иначе — по коэффициенту безопасности: последовательно с кварцем включают резистор RADD и увеличивают его до срыва генерации, а затем считают S_f = (R_ADD + ESR)/ESR. Для HSE ST считает безопасным Sf не меньше 5, для LSE — не меньше 3 (AN2867, разд. 3.8.1–3.8.3).

Расчёт конденсаторов по нагрузочной ёмкости, запас по усилению, часовой кварц 32 768 Гц и разводка разобраны в статье «Кварцевый генератор микроконтроллера», конденсаторы для своего кварца считает калькулятор нагрузочной ёмкости. Кварц 32 768 Гц запускается дольше всех — от 1 до 5 с, тогда как кварцы на мегагерцы — за единицы миллисекунд (AN2867, разд. 3.6). Не превышайте и допустимый уровень возбуждения: перевозбуждение ускоряет старение кварца, сдвигает частоту и может его разрушить (AN826, с. 6).

Релаксационные генераторы

Релаксационный генератор заряжает конденсатор до верхнего порога, разряжает до нижнего и переключается на каждом пороге. Частота задаётся постоянной времени RC и порогами, а форма сигнала — прямоугольная.

Таймер 555. В автоколебательном режиме конденсатор заряжается через R1 и R2 (у TI — RA и RB) до 2/3 напряжения питания и разряжается через R2 до 1/3 (TI SLFS022K). Время высокого и низкого уровня и частота:

Число 0,693 — это ln 2: время заряда от 1/3 до 2/3 напряжения питания (наш вывод). Поскольку пороги — доли напряжения питания, частота от него почти не зависит.

Пример (наш расчёт по формулам TI). RA = 1 кОм, RB = 10 кОм, C = 10 нФ: t_H ≈ 76,2 мкс, t_L ≈ 69,3 мкс, частота около 6,86 кГц, коэффициент заполнения — 52 % (скважность ≈ 1,91; определения — в словарной статье «Коэффициент заполнения и скважность»). Частоту, заполнение и номиналы для своего случая считает калькулятор NE555, а практические схемы — в статье «Схемы на NE555».

Точность такого генератора ограничена допуском резисторов и конденсатора и дрейфом самого таймера. TI указывает для NE555 в автоколебательном режиме типовой температурный коэффициент периода 150 ppm/°C и зависимость от питания 0,3 % на вольт (SLFS022K, табл. 5.6). При изменении температуры на 50 °C это около 0,75 % — более чем в сто раз больше, чем ±50 ppm стандартного кварца (наш расчёт).

Другой вариант релаксационного генератора — компаратор или триггер Шмитта с RC-цепью в обратной связи: гистерезис задаёт два порога, между которыми перезаряжается конденсатор.

Встроенные RC-генераторы микроконтроллеров

Почти у каждого микроконтроллера есть встроенный RC-генератор: он запускается быстро и не требует внешних деталей, но точность у него — проценты, а не ppm.

Для таймеров и мигания светодиодом точности встроенного генератора хватает. Для UART — не всегда: допустимое расхождение частот передатчика и приёмника — несколько процентов в сумме, подробнее в статье «Интерфейс UART», а ошибку скорости для своей частоты покажет калькулятор скорости UART. Для часов, которые должны идти точно, нужен кварц. Частоту от кварца поднимают умножителем — PLL.

Ошибка в секундах. В сутках 86 400 с, поэтому 20 ppm — это 1,7 с в сутки, 50 ppm — 4,3 с в сутки (наш расчёт; перевод подробнее — в словарной статье «ppm»). Ошибка RC-генератора в 1 % — это уже 14 минут в сутки.

Типичные ошибки

• Мост Вина без регулировки усиления. С постоянным RF = 2RG генератор либо не запускается, либо даёт сильно искажённую синусоиду: разброс в доли процента решает, что из двух.
• Фазосдвигающий генератор по формуле для развязанных звеньев. Без буферов звенья нагружают друг друга: в опыте TI частота оказалась на 36 % выше расчётной, а нужное усиление — больше в три с лишним раза (27 вместо 8).
• Нагрузочная ёмкость кварца без учёта ёмкости выводов и платы. Частота уходит на десятки ppm на каждый пикофарад.
• Кварц без проверки запаса. Если gm/gmcrit не больше 5 (или gmcrit не меньше Gm_crit_max из даташита), а коэффициент безопасности на плате меньше 5 для HSE или 3 для LSE, генератор может не запуститься на холоде или у части экземпляров.
• Встроенный RC-генератор для UART без проверки точности, особенно у AVR.
• Таймер 555 там, где нужна точная частота. Дрейф и допуски дают десятые доли процента и больше.

Калькуляторы

• Конденсаторы для кварца — C1 и C2 по нагрузочной ёмкости кварца.
• Таймер NE555 — частота и скважность в автоколебательном режиме.
• LC-контур — резонансная частота и реактивные сопротивления.
• Скорость UART — делитель и ошибка скорости для частоты тактирования.