Перейти к содержанию

Как рассчитать цепь с двумя источниками ЭДС?

Обновлено Редакция GAW

Типичная задача: два источника ЭДС, каждый через свой резистор, подключены к общему узлу, а от него к общему проводу идёт третий резистор. Методом токов ветвей это три неизвестных и три уравнения, а методом узловых потенциалов — одно, потому что неизвестен лишь потенциал общего узла V (почему так, объясняет ответ «Сколько уравнений по законам Кирхгофа»).

Пример

E1 = 12 В через R1 = 100 Ом, E2 = 5 В через R2 = 200 Ом, к общему проводу — R3 = 300 Ом. Все токи считаем втекающими в узел. Первый закон Кирхгофа (наш расчёт):

12−V100+5−V200−V300=0⇒6(12−V)+3(5−V)−2V=0⇒V=8711≈7,91 В.\frac{12 - V}{100} + \frac{5 - V}{200} - \frac{V}{300} = 0 \quad\Rightarrow\quad 6(12 - V) + 3(5 - V) - 2V = 0 \quad\Rightarrow\quad V = \frac{87}{11} \approx 7{,}91\ \text{В}.
ВетвьТок, формулаЗначениеСмысл знака
E1, R1(12 − V) / 100+40,9 мАE1 отдаёт ток в узел
E2, R2(5 − V) / 200−14,5 мАток течёт из узла внутрь E2
R3V / 300+26,4 мАот узла к общему проводу

Проверка узла: 40,9 − 14,5 = 26,4 мА.

Баланс мощностей

E1 отдаёт 12 В · 40,9 мА ≈ 491 мВт. Резисторы рассеивают 167 + 42 + 209 ≈ 418 мВт, а оставшиеся ≈ 73 мВт поглощает E2: ток течёт в него против ЭДС (5 В · 14,5 мА). Kuphaldt в главе о расчёте цепей отмечает именно этот случай — ток бывает направлен «назад» через батарею. Сумма сошлась, значит, знаки верны.

Тот же ответ даёт метод наложения: токи от каждого источника по отдельности складываются с учётом направлений. Схему с любым числом источников и узлов посчитает калькулятор цепей постоянного тока. Если два источника — блоки питания, которые хотят включить параллельно, неравные напряжения дают тот же уравнительный ток, и почему это опасно, разобрано в ответе «Два блока питания параллельно».

Похожие вопросы

Можно ли решить ту же задачу наложением?

Да: по очереди оставить один источник, заменив другой перемычкой, найти токи и сложить с учётом знаков. Для двух источников это две простые задачи на последовательно-параллельное соединение — удобно, если система уравнений пугает. Ответ совпадёт с методом узловых потенциалов.

Что будет, если второй источник — аккумулятор?

Отрицательный ток через него означает, что его заряжают, и ток заряда задают только резисторы, без контроля напряжения. Для литий-ионного аккумулятора так делать нельзя: его заряжают только специализированной микросхемой заряда, иначе возможен перезаряд, нагрев и возгорание.

Как проверить, что токи найдены верно?

Двумя способами: сумма токов в узле должна быть равна нулю, а мощность, которую отдают источники, — равна мощности резисторов плюс мощности источников, которые потребляют энергию. Если сходится и то и другое, ошибки в знаках нет.

Источники

  1. Kuphaldt T. R. Lessons In Electric Circuits, Vol. I — DC, ch. 10 «DC Network Analysis» (CC BY) — разд. «Branch current method»: направления токов выбирают произвольно, при неверном выборе ответ получается отрицательным, но с правильной величиной; ток может оказаться направленным «назад» через батарею; разд. «Node voltage method»: неизвестные — напряжения узлов, уравнения — по первому закону Кирхгофа; разд. «Superposition Theorem» — поочерёдный учёт источников
  2. MIT OpenCourseWare. 6.01SC Introduction to Electrical Engineering and Computer Science I, Spring 2011, course notes, ch. 6 «Circuits» — разд. 6.4 «Solving circuits»: узловые напряжения устраняют избыточность уравнений второго закона, один узел принимают за общий с нулевым потенциалом

Нашли ошибку?

Смотрите также