Перейти к содержанию

Первый закон Кирхгофа

Сколько тока втекает в узел, столько и вытекает: заряд в точке соединения проводов не накапливается. Это первый закон Кирхгофа, или закон токов. Из него вместе с законом Ома выводится метод узловых потенциалов, которым считают цепи и SPICE-симуляторы.

Обновлено Редакция GAW

Первый закон Кирхгофа (закон токов, Kirchhoff's current law, KCL) — алгебраическая сумма токов, втекающих в узел цепи и вытекающих из него, равна нулю. Узел — точка соединения трёх и более проводников. Закон выражает сохранение заряда: в точке соединения он не накапливается и не исчезает.

∑kIk=0\sum_k I_k = 0

Правило знаков и пример

Втекающим токам приписывают один знак, вытекающим — другой. В примере Kuphaldt в узел с двух сторон втекают 2 и 3 мА; уравнение 2 + 3 + I = 0 даёт I = −5 мА, то есть 5 мА вытекают из узла. В параллельной цепи 6 В с ветвями 6, 2 и 3 мА тот же закон даёт общий ток 11 мА: ток источника делится между ветвями, и на этом построен делитель тока.

Ошибка в выбранном направлении не страшна: если ток на самом деле течёт в другую сторону, он выйдет из решения с минусом. Так работают все методы расчёта цепей — направления токов сначала предполагают, а потом проверяют знаком ответа.

Где применяется

  • Метод узловых потенциалов. Для каждого узла, кроме опорного, пишут уравнение первого закона, выражая токи резисторов через разность потенциалов по закону Ома. Получается система, где неизвестные — потенциалы узлов.
  • Метод токов ветвей. Уравнения по первому закону дополняют уравнениями второго закона для контуров.
  • Проверка расчёта и измерений. Сумма токов, измеренных в узле, должна сойтись к нулю с точностью до погрешности приборов; расхождение указывает на неучтённую ветвь или ошибку подключения.

Обзор обоих законов с примерами — на странице «Законы Кирхгофа», а систему уравнений для своей цепи решает калькулятор цепей по Кирхгофу.

Частые вопросы

Как выбирать знаки токов в первом законе Кирхгофа?

Произвольно, но последовательно: например, втекающие в узел токи со знаком «плюс», вытекающие — со знаком «минус». Если реальный ток течёт против выбранного направления, в решении он получится отрицательным. Kuphaldt в примере складывает +2 мА, +3 мА и неизвестный ток и получает −5 мА — значит, этот ток вытекает из узла.

Чем первый закон Кирхгофа отличается от второго?

Первый говорит о токах в узле: их алгебраическая сумма равна нулю. Второй — о напряжениях в замкнутом контуре: алгебраическая сумма напряжений вдоль любого контура равна нулю. Первый следует из сохранения заряда, второй — из того, что потенциал точки не зависит от пути, которым к ней пришли.

Сколько независимых уравнений по первому закону можно составить?

На одно меньше, чем узлов в цепи. Уравнение для последнего узла получается сложением остальных и новой информации не даёт. Поэтому в методе узловых потенциалов один узел объявляют опорным, землёй, и уравнения пишут для остальных.

Источники

  1. Kuphaldt T. R. Lessons In Electric Circuits, Vol. I — DC, ch. 6 «Divider Circuits and Kirchhoff's Laws», разд. «Kirchhoff's Current Law (KCL)» (CC BY) — формулировка «The algebraic sum of all currents entering and exiting a node must equal zero»; втекающие токи со знаком «+», вытекающие — «−», выбор знаков произволен, лишь бы был последовательным; пример: в узел втекают 2 и 3 мА, вытекает 5 мА; параллельная цепь 6 В с ветвями 6, 2 и 3 мА
  2. Kuphaldt T. R. Lessons In Electric Circuits, Vol. I — DC, ch. 10 «DC Network Analysis», разд. «Branch current method» и «Node voltage method» (CC BY) — уравнение KCL для узла с токами I1, I2, I3 как одно из уравнений системы; метод узловых напряжений — система уравнений KCL относительно потенциалов узлов, проводимости G = 1/R в сименсах

Нашли ошибку?

Смотрите также