Перейти к содержанию

Законы Кирхгофа на простых цепях

Два закона Кирхгофа — это правила учёта: ток, вошедший в узел, из него выходит, а напряжения при обходе замкнутого контура в сумме дают ноль. Ими проверяют любой расчёт и находят неизвестную величину.

Обновлено Редакция GAW

Электроника с нуляурок 4 из 820 мин

Цель урока: Составлять уравнения по законам Кирхгофа для узла и контура и с их помощью находить неизвестный ток или напряжение в простой цепи.

Содержание

В уроке 3 мы пользовались правилами: в цепочке напряжения складываются, в параллельных ветвях складываются токи. Это два закона Густава Кирхгофа (1847), записанные для частных случаев.

Закон токов: узел

Узел — точка соединения трёх и более проводов. Заряд в узле не накапливается, поэтому сколько тока в него втекает, столько и вытекает:

∑Iвтекающих=∑Iвытекающих\sum I_\text{втекающих} = \sum I_\text{вытекающих}

Иначе: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю, если втекающие брать со знаком плюс, а вытекающие — с минусом.

Закон напряжений: контур

Контур — замкнутый путь по цепи. Обойдите его из любой точки в любую сторону и сложите напряжения с учётом знака — получится ноль:

∑U=0\sum U = 0

Для цепи из одного источника это знакомое правило: напряжение источника равно сумме напряжений на всех резисторах цепочки. Знак берут по полярности: при обходе от минуса элемента к его плюсу — плюс, от плюса к минусу — минус. На резисторе плюс там, куда втекает ток.

Пример: смешанная цепь

Источник 12 В, последовательно резистор R1 = 2 кОм, за ним две параллельные ветви R2 = 3 кОм и R3 = 6 кОм. Расчёт наш.

  1. Параллельные ветви: 3 · 6 / (3 + 6) = 2 кОм. Вся цепь: 2 + 2 = 4 кОм.
  2. Ток источника: 12 В / 4 кОм = 3 мА. Напряжение на R1: 3 мА · 2 кОм = 6 В, на ветвях — оставшиеся 6 В.
  3. Токи ветвей: 6 В / 3 кОм = 2 мА и 6 В / 6 кОм = 1 мА.

Теперь проверка законами Кирхгофа:

  • узел, где ток расходится по ветвям: втекает 3 мА, вытекает 2 + 1 = 3 мА — сходится;
  • контур «источник — R1 — R2»: +12 − 6 − 6 = 0 В — сходится;
  • контур «R2 — R3» (обход по двум ветвям): +6 − 6 = 0 В — у параллельных ветвей одно напряжение.
Параллельные ветви: 6 В, R1 3 кОм и R2 6 кОм; ток 3 мА делится на 2 мА и 1 мАИсточник 6 В питает два параллельных резистора. В верхнем узле ток источника 3 мА делится: 2 мА идёт через R1 3 кОм, 1 мА — через R2 6 кОм; в нижнем узле токи снова складываются.+E6 ВR13 кОмR26 кОмI = 3 мАI1 = 2 мАI2 = 1 мА
Параллельная часть примера: на ветвях 6 В, ток 3 мА делится на 2 мА через 3 кОм и 1 мА через 6 кОм

Задание

  1. В узел втекают токи 5 мА и 3 мА, а вытекают два: 6 мА и неизвестный. Найдите его.
  2. Батарейка 9 В питает цепочку из трёх резисторов. На первом намерили 2 В, на втором 4,5 В. Сколько вольт на третьем?
Ответ и решение
  1. По закону токов 5 + 3 = 6 + I, откуда I = 2 мА, и он вытекает из узла.
  2. По закону напряжений 9 − 2 − 4,5 − U3 = 0, откуда U3 = 2,5 В.

Если бы во втором случае получилось отрицательное число, это значило бы, что ошибка в измерениях или знаках: в цепи с одним источником напряжения на резисторах не могут быть больше напряжения источника.

Что дальше

Следующий элемент — конденсатор, который накапливает заряд и не даёт напряжению меняться мгновенно: урок 5. Цепь с несколькими источниками, порядок составления системы уравнений и знаки разобраны в статье «Законы Кирхгофа». Сложную цепь удобно сворачивать до источника с одним резистором — для этого есть калькулятор эквивалентной схемы Тевенина и приём наложения.

Урок основан на учебнике T. R. Kuphaldt «Lessons In Electric Circuits», Vol. I — DC, лицензия CC BY 4.0. Материал переработан: пересказан по-русски, сокращён и дополнен нашими примерами и данными из даташитов.

Частые вопросы

Что такое узел и контур?

Узел — точка, где соединяются три и более провода; всё, что соединено проводом без элементов, — один и тот же узел. Контур — любой замкнутый путь по цепи, который начинается и заканчивается в одной точке. Закон токов пишут для узлов, закон напряжений — для контуров.

Как не запутаться со знаками в законе напряжений?

Выберите направление обхода и держитесь его. Напряжение элемента берите со знаком плюс, если при обходе вы идёте от его минуса к плюсу, и с минусом — если от плюса к минусу. На резисторе плюс там, куда втекает ток. Если в конце сумма не ноль, ошибка в знаке или в расчёте.

Зачем законы Кирхгофа, если есть правила соединений?

Правила последовательного и параллельного соединения — их частные случаи и работают, только пока цепь сводится к одному резистору. С двумя источниками или мостом из резисторов так не выйдет, и цепь решают системой уравнений Кирхгофа или методом узловых потенциалов.

Источники

  1. Kuphaldt T. R. Lessons In Electric Circuits, Vol. I — DC, ch. 6 «Divider Circuits and Kirchhoff's Laws» — KVL (Г. Кирхгоф, 1847): алгебраическая сумма напряжений в контуре равна нулю, с учётом полярности, начиная с любой точки и в любом направлении; двойной индекс напряжения E2-1 — точка 2 относительно точки 1; KCL: алгебраическая сумма токов, входящих в узел и выходящих из него, равна нулю. CC BY 4.0
  2. Kuphaldt T. R. Lessons In Electric Circuits, Vol. I — DC, ch. 5 «Series and Parallel Circuits», section «Correct use of Ohm's Law» — проверять результат обратным счётом или другим способом. CC BY 4.0

Нашли ошибку?

Смотрите также