Эквивалентный источник: теоремы Тевенина и Нортона

Найдите эквивалентный источник для любых двух выводов линейной схемы — по напряжению холостого хода и току замыкания, по двум нагрузкам или по одной из типовых схем. Калькулятор пересчитает эквивалент Тевенина в эквивалент Нортона и обратно и покажет ток, напряжение и мощность на нагрузке.

Исходные данные

Источник задан

По схемеПо измерениямПересчёт

Схема

Два источникаДелительМост

Ом

с внутренним сопротивлением источника

отрицательное — источник перевёрнут

Ом

R3 от узла к общему проводу

Ом

если оставить пустым — нет

Сопротивление нагрузки Rн

Ом

между выводами A и B; 0 — короткое замыкание

Результат

Эквивалентный источник по Тевенину: 11,2 В, 0,8 Ом; напряжение холостого хода Uэкв и внутреннее сопротивление Rэкв
По Нортону: ток Iэкв = Uэкв / Rэкв: 14 Апараллельно с 0,8 Ом; это же ток короткого замыкания
Наложение: от U1 и от U2 по отдельности: 5,6 В + 5,6 Ввторой источник при этом заменён перемычкой

Нагрузка 2 Ом

Ток I = Uэкв / (Rэкв + Rн): 4 А
Напряжение на нагрузке: 8 В
Мощность в нагрузке: 32 Вт
Потери в Rэкв: 12,8 Втв эквиваленте; в исходной схеме рассеяние распределено иначе
Доля мощности эквивалента Rн / (Rэкв + Rн): 71,4 %КПД эквивалента, не схемы: её резисторы потребляют и без нагрузки

Наибольшая мощность

При Rн = Rэкв: 39,2 ВтUэкв² / (4 · Rэкв) при 0,8 Ом

Схема и её эквивалент

Нагрузка Rн, подключённая к выводам A и B, получает от исходной схемы и от эквивалента одинаковые ток и напряжение. Знак напряжения — потенциал A относительно B.

Мощность в нагрузке в процентах от наибольшей 39,2 Вт и доля мощности эквивалента Rн / (Rэкв + Rн) при нагрузке от сотой доли до стократного Rэкв = 0,8 Ом. Пунктир — Rн = Rэкв, точка — ваша нагрузка. Для схемы это не КПД: её резисторы рассеивают мощность и без нагрузки.

Расчёт выполнен по формулам и данным из источников, приведённых на этой странице, и не заменяет проверку: параметры компонентов у разных производителей и даже партий различаются. Перед применением сверяйте результат с документацией на конкретные детали.

Эквивалентный источник — это замена сложной линейной схемы, видимой с двух выводов, одним источником напряжения Uэкв с последовательным сопротивлением Rэкв (теорема Тевенина, в русской литературе — метод эквивалентного генератора) или источником тока Iэкв с параллельным сопротивлением (теорема Нортона). Калькулятор находит эквивалент тремя способами: по схеме, по измерениям на выводах или пересчётом одной формы в другую. Затем он показывает, что получит нагрузка, и при каком её сопротивлении мощность будет наибольшей.

Как пользоваться

Выберите, как задан источник. По схеме — одна из трёх типовых цепей: два источника на один узел, делитель с сопротивлением источника или мост. По измерениям — напряжение холостого хода и ток замыкания, напряжение холостого хода и напряжение под нагрузкой или два режима с разными токами. Пересчёт — известен эквивалент Тевенина или Нортона.
Введите значения. Сопротивления принимаются с приставками: 4k7, 10к, 2,2M. Отрицательное напряжение означает перевёрнутый источник.
Укажите сопротивление нагрузки Rн между выводами A и B. Справа появятся эквивалент, ток, напряжение и мощность на нагрузке, ниже — схема с введёнными номиналами, эквиваленты Тевенина и Нортона и график мощности.

Значения по умолчанию повторяют пример из Lessons In Electric Circuits, разобранный ниже.

Как считается

Эквивалент Тевенина

Напряжение эквивалента — напряжение между выводами без нагрузки:

U_\text{экв} = U_\text{хх}

Сопротивление эквивалента — сопротивление между выводами, когда все источники напряжения заменены перемычками, а источники тока разорваны. С нагрузкой R_н схема превращается в простую последовательную цепь, и дальше хватает закона Ома:

I = \frac{U_\text{экв}}{R_\text{экв} + R_\text{н}}

U = I \cdot R_\text{н}, \qquad P = U \cdot I

Эквивалент Нортона и пересчёт

Тот же источник можно представить источником тока, параллельно которому стоит то же сопротивление. Ток эквивалента — ток короткого замыкания выводов:

I_\text{экв} = \frac{U_\text{экв}}{R_\text{экв}}

U_\text{экв} = I_\text{экв} \cdot R_\text{экв}

У идеального источника напряжения (R_экв = 0) эквивалента Нортона нет: ток замыкания бесконечен.

По измерениям

Напряжение на выводах линейного источника падает с током по прямой U = U_экв − R_экв · I. Две точки этой прямой задают оба параметра:

R_\text{экв} = \frac{U_1 - U_2}{I_2 - I_1}

U_\text{экв} = U_1 + I_1 \cdot R_\text{экв}

Частные случаи — холостой ход и короткое замыкание (R_экв = U_хх/I_кз) и холостой ход плюс одна нагрузка (R_экв = R_н · (U_хх/U_н − 1)).

Типовые схемы

Схема	Uэкв	Rэкв
Делитель: U с Rs, R1 сверху, R2 снизу, R3 к выходу	$U \cdot \dfrac{R_2}{R_s + R_1 + R_2}$	R₃ + (R_s + R₁) ∥ R₂
Мост: R1, R3 — левое плечо, R2, R4 — правое	$U \cdot \left(\dfrac{R_3}{R_1 + R_3} - \dfrac{R_4}{R_2 + R_4}\right)$	R₁ ∥ R₃ + R₂ ∥ R₄
Два источника U1 через R1 и U2 через R2, R3 к общему (без R3 член 1/R₃ опускается)	$\dfrac{U_1/R_1 + U_2/R_2}{1/R_1 + 1/R_2 + 1/R_3}$	$\dfrac{1}{1/R_1 + 1/R_2 + 1/R_3}$

Знак ∥ — параллельное соединение, его считает калькулятор соединений. Мост питается от идеального источника. Для двух источников калькулятор показывает и вклад каждого по методу наложения: второй источник при этом заменяется перемычкой. Формулы проверены в тестах против решения узловыми потенциалами на 150 случайных схемах.

Наибольшая мощность

Мощность в нагрузке наибольшая при R_н = R_экв:

P_\text{max} = \frac{U_\text{экв}^2}{4 R_\text{экв}}

Отношение R_н/(R_экв + R_н) при этом равно 50 %. Это КПД самого эквивалента. Для источника, который действительно устроен как ЭДС с внутренним сопротивлением, — батареи, генератора — это и есть его КПД. Для схемы из нескольких резисторов — нет: эквивалент описывает только выводы, а рассеяние внутри у него другое (MIT 6.01, 6.5). Поэтому в режиме «По схеме» калькулятор называет эту величину долей мощности эквивалента. Lessons In Electric Circuits отдельно подчёркивает, что максимум мощности не совпадает с максимумом КПД.

Пример: две батареи и нагрузка 2 Ом

В примере Lessons In Electric Circuits батарея 28 В через резистор 4 Ом и батарея 7 В через 1 Ом питают нагрузку 2 Ом. Без нагрузки обе батареи включены навстречу друг другу: ток контура (28 − 7) / 5 = 4,2 А, и на выводах остаётся 28 − 4,2 · 4 = 11,2 В. Если заменить батареи перемычками, резисторы 4 и 1 Ом окажутся параллельно — 0,8 Ом.

Величина	Значение
Uэкв	11,2 В
Rэкв	0,8 Ом
Iэкв (Нортон)	14 А — по 7 А от каждой батареи
Нагрузка 2 Ом	4 А, 8 В, 32 Вт; доля мощности эквивалента 71,4 %
Наибольшая мощность	39,2 Вт при 0,8 Ом
Нагрузка 0,5 и 1,1 Ом	37,11 и 38,22 Вт — меньше, чем при 0,8 Ом

Та же схема с другими числами разобрана в статье «Правила Кирхгофа»: источники 12 В через 100 Ом и 5 В через 50 Ом дают эквивалент 7,33 В и 33,3 Ом, и на нагрузке 200 Ом получается те же 44/7 ≈ 6,29 В, что и при решении системы уравнений.

Пример: несбалансированный мост

Мост от 10 В: левое плечо 12 Ом сверху и 18 Ом снизу, правое — 18 и 12 Ом. Без нагрузки точка A находится под напряжением 10 · 18 / 30 = 6 В, точка B — 4 В, значит, Uэкв = 2 В. Rэкв = 12 ∥ 18 + 18 ∥ 12 = 7,2 + 7,2 = 14,4 Ом. Резистор 6 Ом в диагонали получит 2 / 20,4 = 98 мА и 0,588 В — столько же даёт моделирование SPICE в Lessons In Electric Circuits. Если R1/R3 = R2/R4, мост сбалансирован и Uэкв = 0 — на этом основан мост Уитстона.

Пример: выход делителя

В курсе MIT 6.01 источник 15 В питает цепочку 2 кОм сверху и 1 + 1 кОм снизу, а выход снят через ещё 1 кОм. Эквивалент: 15 · 2 / 4 = 7,5 В и 1 кОм + 2 кОм ∥ 2 кОм = 2 кОм. Выходное сопротивление делителя важно, когда к нему подключён вход АЦП или другой схемы: нагрузка 20 кОм, в 10 раз больше Rэкв, уже снизит напряжение на 9 %. Делитель под конкретную нагрузку удобнее подбирать в калькуляторе делителя, а про сопротивление источника на входе АЦП — в статье «Аналого-цифровой преобразователь».

Как измерить Rэкв на реальном источнике

Рецепт из учебника — «замкнуть выводы и измерить ток» — годится для сигнальных цепей и источников с ограничением тока. Для батарей, аккумуляторов и блоков питания он не нужен:

Батареи и аккумуляторы отдают при замыкании ток, ограниченный только их внутренним сопротивлением, — во много раз больше рабочего. Щелочной элемент АА с 0,214 Ом из примера Energizer дал бы 1,5 / 0,214 ≈ 7 А. Сама Energizer в таком испытании замыкает элемент лишь примерно на 0,2 с через резистор 0,01 Ом и считает результат только приблизительной оценкой.
Блоки питания и стабилизаторы при замыкании переходят в режим ограничения тока или защиты. Их выходная характеристика к тому же нелинейна: пока стабилизатор держит напряжение, Rэкв почти ноль, а при ограничении тока — совсем другое, и ток замыкания о рабочем режиме ничего не говорит.

Безопасный способ — два режима с умеренными токами, режим «Две нагрузки»:

Измерьте напряжение при малом токе или без нагрузки — U1, I1.
Подключите резистор, ток через который не больше допустимого для источника, и сразу измерьте U2 и I2 (или посчитайте I2 = U2 / R). Мощность резистора должна быть больше U2² / R.
Измеряйте быстро: батарея под током просаживается и нагревается, и второе измерение уже относится к другому состоянию. Energizer держит большой ток всего 100 мс.

Пример Energizer: 1,485 В при 5 мА и 1,378 В при 505 мА дают 0,214 Ом. Если калькулятор показывает отрицательное сопротивление, напряжение при большем токе выросло — источник изменился между измерениями. Больше о том, что входит во внутреннее сопротивление батареи и почему оно растёт на холоде и при разряде, — в статьях «Внутреннее сопротивление источника» и «Батарейки и аккумуляторы для электроники».

Ограничения

Теоремы верны только для линейных цепей. Диоды, лампы накаливания, термисторы и стабилизаторы с ограничением тока нелинейны, и их эквивалент верен лишь около рабочей точки.
Эквивалент описывает только то, что происходит на выводах. Потери в Rэкв — не нагрев резисторов исходной схемы: делитель без нагрузки потребляет ток, эквивалент — нет.
Максимум мощности при Rн = Rэкв даже у источника, устроенного как ЭДС с внутренним сопротивлением, достигается ценой КПД 50 %, а у схемы из резисторов настоящий КПД ещё ниже. Для питания нагрузку берут во много раз больше Rэкв, а равенство нужно при согласовании линий и антенн.

Частые вопросы

Что такое теорема Тевенина простыми словами?

Любую линейную схему из источников и резисторов, если смотреть на неё с двух выводов, можно заменить одним источником напряжения Uэкв с последовательным резистором Rэкв. Uэкв — напряжение между выводами без нагрузки, Rэкв — сопротивление между ними, когда источники напряжения заменены перемычками, а источники тока разорваны. Нагрузка не отличит такой эквивалент от исходной схемы: ток и напряжение на ней будут те же. Поэтому для каждой новой нагрузки не нужно заново решать всю схему.

Чем теорема Нортона отличается от теоремы Тевенина?

Только формой эквивалента. По Нортону схема заменяется источником тока Iэкв, параллельно которому стоит то же сопротивление Rэкв. Ток Нортона — это ток короткого замыкания выводов: Iэкв = Uэкв / Rэкв. В примере Lessons In Electric Circuits эквивалент 11,2 В и 0,8 Ом по Тевенину — это 14 А и 0,8 Ом по Нортону.

Как измерить внутреннее сопротивление источника?

По двум точкам: измерить напряжение без нагрузки (или при малом токе) и под известной нагрузкой. Rэкв = (U1 − U2) / (I2 − I1). Energizer так измеряет батарейки: при токе 5 мА — 1,485 В, при 505 мА — 1,378 В, значит, 0,107 В / 0,5 А = 0,214 Ом. Замыкать батарею или блок питания накоротко, чтобы найти ток замыкания, не нужно: две нагрузки дают тот же результат безопасно.

При какой нагрузке источник отдаёт наибольшую мощность?

Когда сопротивление нагрузки равно Rэкв. Мощность при этом Uэкв² / (4 · Rэкв). Если источник и правда устроен как Uэкв с внутренним Rэкв — батарея, генератор, — его КПД при этом ровно 50 %: половина мощности теряется внутри. У делителя или моста настоящий КПД ниже: их резисторы потребляют и без нагрузки. Согласование нужно при согласовании антенн и усилителей, но не для питания: блоки питания и батареи работают при нагрузке во много раз больше Rэкв, иначе они перегреваются.

Почему эквивалентом нельзя считать нагрев внутри схемы?

Эквивалент правильно описывает только то, что происходит снаружи выводов. Мощность, рассеиваемая в Rэкв, не равна мощности, которая выделяется в резисторах исходной схемы: делитель без нагрузки потребляет ток, а эквивалент без нагрузки — нет. Поэтому и отношение Rн / (Rэкв + Rн) — КПД эквивалента, а не схемы: мост из примера на этой странице берёт от источника 10 В около 6,9 Вт, а нагрузке 6 Ом отдаёт 57,7 мВт — меньше 1 %, хотя по эквиваленту выходит 29,4 %. Для расчёта нагрева резисторов и КПД схему нужно решать целиком.

Источники

Kuphaldt T. R. Lessons In Electric Circuits, Volume I — DC, chapter 10 «DC Network Analysis» (CC BY 4.0) — разделы «Thevenin's Theorem», «Norton's Theorem», «Thevenin-Norton equivalencies», «Maximum Power Transfer Theorem»: пример с батареями 28 и 7 В — 11,2 В, 0,8 Ом, 14 А, нагрузка 2 Ом получает 8 В и 4 А, наибольшая мощность 39,2 Вт; несбалансированные мосты с моделированием SPICE в разделах «Mesh current method» и «Δ-Y conversion»
Agarwal A., Lang J. 6.002 Circuits and Electronics, Lecture 3: Superposition, Thévenin and Norton. MIT OpenCourseWare, Spring 2007 — наложение для источников напряжения и тока; вольт-амперная прямая v = vTH + RTH · i, холостой ход и короткое замыкание; IN = VTH / RTH
6.01SC Introduction to EECS I, course notes, chapter 6 «Circuits», 6.5 «Circuit Equivalents». MIT OpenCourseWare, Spring 2011 — с. 258–261: Rth = −Vth / isc; пример 15 В, 2 кОм и три по 1 кОм — 7,5 В и 2 кОм, с другой парой выводов −3,75 В и 1750 Ом
Energizer. Battery Internal Resistance, technical bulletin v1.1.0, December 2005 — внутреннее сопротивление по изменению напряжения при двух токах: 5 и 505 мА, 1,485 → 1,378 В — 0,214 Ом; оценка по короткому замыканию — только приблизительная

Где пригодится

Почему напряжение с делителя падает под нагрузкой?Эквивалент Тевенина: Uхх = U·R2/(R1+R2), Rвн = R1 ∥ R2

Встроить калькулятор на свой сайт

Скопируйте код и вставьте его в HTML страницы, статьи или вики. Виджет бесплатный, без рекламы, счётчиков и cookie. Условие одно — ссылка на GAW под рамкой остаётся на месте. Подробнее о виджетах

Открывать с текущими значениями калькулятора

<iframe src="https://gaw.ru/embed/thevenin/" title="Эквивалентный источник: теоремы Тевенина и Нортона" width="100%" height="640" style="border:1px solid #e3e5e9;border-radius:8px" loading="lazy" allow="clipboard-write"></iframe>
<p style="margin:6px 0 0;font-size:14px">Калькулятор: <a href="https://gaw.ru/tools/thevenin/">Эквивалентный источник: теоремы Тевенина и Нортона</a> — GAW.ru</p>

Автоподстройка высоты рамки

Если сайт разрешает скрипты, добавьте этот код один раз в любом месте страницы: рамка будет менять высоту вместе с результатом расчёта.

<script>window.addEventListener("message",function(e){if(e.origin!=="https://gaw.ru"||!e.data||e.data.type!=="gaw:embed-height")return;var f=document.querySelectorAll('iframe[src^="https://gaw.ru/embed/"]');for(var i=0;i<f.length;i++)if(f[i].contentWindow===e.source)f[i].style.height=e.data.height+"px"})</script>

Обновлено 22 октября 2026 г..

Нашли ошибку в расчёте?