Сколько уравнений нужно составить по законам Кирхгофа?
Обновлено Редакция GAW
Неизвестные в задаче на законы Кирхгофа — токи всех ветвей. Kuphaldt в главе «DC Network Analysis» формулирует главное правило: уравнений должно быть столько же, сколько неизвестных. Но не всякое лишнее уравнение помогает — из семи уравнений второго закона в примере MIT независимы только три, остальные получаются их сложением.
Сколько уравнений и каких
Для цепи с n узлами и b ветвями (наш вывод, согласуется с примерами Kuphaldt):
| Метод | Неизвестные | Уравнений |
|---|---|---|
| Токи ветвей | токи всех ветвей | b: n − 1 по первому закону и b − n + 1 по второму |
| Контурные токи | токи независимых контуров | b − n + 1 |
| Узловые потенциалы | потенциалы узлов, один узел — общий | n − 1 |
Пример из главы Kuphaldt: в цепи с пятью токами ветвей нужно два уравнения по первому закону и три по второму — значит, узлов три. Методом контурных токов та же цепь решается тремя уравнениями (у Kuphaldt), а методом узловых потенциалов — двумя (наш расчёт):
Что выбрать
Метод токов ветвей самый прямолинейный, но и самый громоздкий. Если узлов мало, а контуров много — например, несколько источников подключены к общей шине, — выгоднее узловые потенциалы. Если, наоборот, мало контуров, — контурные токи. Как это выглядит на конкретной схеме с двумя источниками, показано в ответе «Как рассчитать цепь с двумя источниками».
Систему любого размера решит калькулятор цепей постоянного тока: он составляет уравнения узловых потенциалов сам и показывает токи всех ветвей с направлениями.
Похожие вопросы
Почему уравнение для последнего узла лишнее?
Каждый ток ветви входит в один узел и выходит из другого. Если сложить уравнения первого закона для всех узлов, каждый ток войдёт со знаком плюс и минус и сократится, получится 0 = 0. Значит, любое одно уравнение — сумма остальных с обратным знаком, и независимых всего n − 1.
Как выбрать независимые контуры?
Проще всего взять «окна» схемы, нарисованной без пересечений, — ячейки, внутри которых нет других ветвей. Их как раз b − n + 1, и каждое следующее окно содержит хотя бы одну ветвь, не вошедшую в предыдущие.
Считать ли источник тока отдельной ветвью?
Да, но его ток уже известен, поэтому неизвестных становится на одну меньше, и контур через источник тока для второго закона не берут — напряжение на нём неизвестно. В методе узловых потенциалов источник тока просто входит в правую часть уравнения своего узла.
Источники
- Kuphaldt T. R. Lessons In Electric Circuits, Vol. I — DC, ch. 10 «DC Network Analysis» (CC BY) — для решения нужно столько уравнений, сколько неизвестных; метод токов ветвей: направления токов выбирают произвольно, неверное даёт отрицательный ответ той же величины; три тока — одно уравнение по первому закону и два по второму; в цепи с пятью токами ветвей — два уравнения по первому закону и три по второму, а методом контурных токов — три неизвестных и три уравнения; метод узловых потенциалов — система уравнений по первому закону для узловых напряжений
- MIT OpenCourseWare. 6.01SC Introduction to Electrical Engineering and Computer Science I, Spring 2011, course notes, ch. 6 «Circuits» — разд. 6.2: линейно независимые уравнения — ни одно не выражается комбинацией других; упражнение — число независимых уравнений по первому закону для цепи из n узлов; в примере из семи уравнений по второму закону независимы только три, остальные — суммы; разд. 6.4: узловые напряжения устраняют избыточность, один узел принимают за общий с нулевым потенциалом
Нашли ошибку?
Смотрите также
- Решатель цепей по КирхгофуНапряжения узлов, токи и мощности, баланс и наложение источников
- Законы КирхгофаЗакон токов для узла, закон напряжений для контура
- Метод узловых потенциаловНеизвестные — потенциалы узлов, уравнения — первый закон Кирхгофа
- Метод контурных токовНеизвестные — токи контуров, уравнения — второй закон Кирхгофа
- Как рассчитать цепь с двумя источниками ЭДС?Узловой потенциал общей точки, токи ветвей по закону Ома, проверка балансом мощностей