Перейти к содержанию

Коэффициент затухания

Отклик петли обратной связи на ступеньку бывает вялым, бывает точным, а бывает со звоном. Почти всегда это описывает одно число — коэффициент затухания эквивалентной системы второго порядка.

Обновлено Редакция GAW

Содержание

Коэффициент затухания ζ (дзета, damping ratio) — безразмерный параметр системы второго порядка, который определяет форму её отклика на ступеньку. Почти любую петлю обратной связи — усилитель на ОУ, стабилизатор, ФАПЧ — вблизи частоты среза можно приблизить такой моделью, поэтому ζ служит общей мерой устойчивости. TI подчёркивает, что устойчивость — понятие относительное, и мерой её служат коэффициент затухания и связанный с ним запас по фазе: выброс и звон появляются задолго до генерации (SLOD006B, разд. 7.1).

Три режима

  • ζ < 1 — недодемпфированная система: на ступеньке выброс и затухающий звон. Чем меньше ζ, тем больше выброс и тем дольше колебания.
  • ζ = 1 — критическое затухание: самый быстрый отклик без выброса.
  • ζ > 1 — передемпфированная: отклик монотонный, но медленный.

Для системы второго порядка ζ связан с добротностью полюсов как Q = 1/(2ζ) (добротность).

Выброс и запас по фазе

Для двухполюсной петли выброс σ и запас по фазе φм выражаются через ζ стандартными формулами:

σ=e−πζ/1−ζ2,φм=arctan⁡2ζ1+4ζ4−2ζ2\sigma = e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}, \qquad \varphi_м = \arctan\frac{2\zeta}{\sqrt{\sqrt{1+4\zeta^4} - 2\zeta^2}}
ζЗапас по фазеВыброс
0,223°53 %
0,333°37 %
0,443°25 %
0,552°16 %
0,659°9,5 %
0,765°4,6 %
1,076°нет

Таблица — наш расчёт по формулам; она согласуется с графиком TI, где ζ = 0,4 даёт выброс 25 % и запас около 42° (SLOD006B, разд. 5.6, рис. 5-18), и с примером SLOA020A, где запас 25° даёт около 48 % выброса.

Как пользоваться

Таблица работает в обе стороны. По выбросу на осциллограмме малого прямоугольного сигнала оценивают ζ и запас по фазе; TI советует малый сигнал, потому что на полном размахе фронт ограничивает скорость нарастания и выброс маскируется (SLOA020A, разд. 3). Время установления до заданной точности тоже зависит от ζ — подробнее в статье «Время установления».

В ФАПЧ ζ выбирают при расчёте петлевого фильтра: при ζ < 1 петля входит в захват с колебаниями, при ζ > 1 — монотонно; обычно берут 0,7–2, а шумовая полоса петли минимальна при ζ = 0,5 (TI SWRA029). Подробнее — в статьях «ФАПЧ» и «Устойчивость и частотная коррекция».

Частые вопросы

Какой коэффициент затухания считать хорошим?

Зависит от задачи. Около 0,7 — компромисс между скоростью и выбросом: выброс на ступеньке около 4,6 %, запас по фазе около 65° (наш расчёт по формулам второго порядка). При ζ = 1 выброса нет, но отклик медленнее. Для ФАПЧ TI называет обычный диапазон 0,7–2, а для усилителя выброс в десятки процентов уже признак проблемы с устойчивостью.

Как оценить ζ по осциллограмме?

По выбросу на малом прямоугольном сигнале: 25 % соответствует ζ около 0,4 и запасу по фазе около 43°, 50 % — ζ около 0,2 и запасу около 25°. Сигнал берут малым, чтобы фронт не ограничивала скорость нарастания ОУ, иначе выброс маскируется.

Как связаны коэффициент затухания и добротность?

Для системы второго порядка Q = 1/(2ζ). Добротность 0,707 у фильтра Баттерворта — это ζ = 0,707; ζ = 0,5 — это Q = 1. Чем больше добротность резонансного звена, тем меньше затухание и тем дольше звон.

Источники

  1. Texas Instruments. Op Amps For Everyone, Design Reference (SLOD006B), chapters 5 and 7 — разд. 5.6: модель второго порядка; ζ = 0,4 — выброс 25 % и запас по фазе около 42° (рис. 5-18); разд. 7.1: устойчивость — относительное понятие, мера — коэффициент затухания и запас по фазе; выброс и звон появляются раньше генерации
  2. Texas Instruments. Barrett C. (ed.) Fractional/Integer-N PLL Basics (SWRA029, August 1999) — петля ФАПЧ второго порядка с ωn и ζ; при ζ < 1 захват с колебаниями, при ζ > 1 монотонно; обычно ζ = 0,7…2; шумовая полоса BL = ωn(ζ + 1/(4ζ))/2, минимальна при ζ = 0,5; время перестройки около 10/ωn при ζ = 1
  3. Texas Instruments. Mancini R. Stability Analysis of Voltage-Feedback Op Amps Including Compensation Techniques (SLOA020A, March 2001) — разд. 3 и 5: проверка малым прямоугольным сигналом; запас 25° даёт около 48 % выброса

Нашли ошибку?

Смотрите также