Теорема Миллмана

Если цепь можно перерисовать как набор параллельных ветвей, в каждой из которых последовательно стоят источник и резистор, напряжение на них находится одной формулой — без системы уравнений. Это теорема Миллмана.

Обновлено 1 ноября 2026 г.Редакция GAW

Теорема Миллмана (Millman's theorem) — формула для напряжения между двумя узлами, соединёнными несколькими параллельными ветвями, в каждой из которых последовательно стоят источник ЭДС и резистор. Напряжение равно сумме токов короткого замыкания ветвей, делённой на сумму их проводимостей:

U = \frac{\dfrac{E_1}{R_1} + \dfrac{E_2}{R_2} + \dots + \dfrac{E_n}{R_n}}{\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dots + \dfrac{1}{R_n}}

В русской литературе тот же приём называют методом двух узлов. Это частный случай метода узловых потенциалов для цепи с одним неопорным узлом: одно уравнение, решённое заранее.

Пример Kuphaldt

Цепь с батареями 28 В и 7 В перерисовывают как три параллельные ветви: 28 В с резистором 4 Ом, резистор 2 Ом без источника и 7 В с резистором 1 Ом. Все ЭДС отсчитываются от нижнего провода:

U = \frac{28/4 + 0/2 + 7/1}{1/4 + 1/2 + 1/1} = \frac{14}{1{,}75} = 8\ \text{В}

Дальше ток каждой ветви — разность её ЭДС и найденного напряжения, делённая на сопротивление: (28 − 8)/4 = 5 А, 8/2 = 4 А, (7 − 8)/1 = −1 А. Последний знак значит, что ток течёт внутрь батареи 7 В против её ЭДС. Ответ совпадает с методом токов ветвей и с принципом наложения, где вклад каждой батареи в напряжение на резисторе 2 Ом равен 4 В.

Границы применимости

Kuphaldt отмечает, что формула удобна, когда источников слишком много для свёртки последовательно-параллельных соединений, и не требует решать систему уравнений. Но работает она только для цепей, которые сводятся к двум узлам: неуравновешенный мост так не перерисовать. Ещё одна особенность — формула даёт только общее напряжение, а токи и полярности на резисторах приходится досчитывать отдельно. Для произвольной цепи проще воспользоваться калькулятором цепей по Кирхгофу, который решает общий случай. Родственная идея — эквивалент Тевенина: ветви «источник + резистор» складываются в один эквивалентный источник с ЭДС, равной напряжению Миллмана на холостом ходу.

Частые вопросы

Как записывается формула Миллмана?

U = (E₁/R₁ + E₂/R₂ + … + Eₙ/Rₙ) / (1/R₁ + 1/R₂ + … + 1/Rₙ). В числителе — сумма токов короткого замыкания ветвей, в знаменателе — сумма их проводимостей. Ветвь без источника входит с E = 0: в числитель ничего не добавляет, а в знаменатель — свою проводимость.

Как по результату найти токи ветвей?

Ток каждой ветви равен (Eₖ − U)/Rₖ: разность ЭДС ветви и общего напряжения, делённая на её сопротивление. Знак показывает направление: в примере Kuphaldt ток ветви 7 В получается (7 − 8)/1 = −1 А, то есть он течёт внутрь батареи против её ЭДС.

Когда теорема Миллмана неприменима?

Когда цепь нельзя свести к двум узлам с параллельными ветвями. Kuphaldt приводит пример — неуравновешенный мост: у него больше двух узлов, и нужны метод узловых потенциалов, метод контурных токов или преобразование треугольника в звезду.

Источники

Kuphaldt T. R. Lessons In Electric Circuits, Vol. I — DC, ch. 10 «DC Network Analysis», разд. «Millman's Theorem» и «Millman's Theorem revisited» (CC BY) — цепь перерисовывают как параллельные ветви, в каждой — резистор или батарея с резистором; применима только к цепям, которые можно так перерисовать, не годится для неуравновешенного моста; не требует системы уравнений; пример: ветви 28 В / 4 Ом, 0 / 2 Ом, 7 В / 1 Ом — ответ 8 В; все напряжения отсчитываются от одной точки; ток через B3 идёт против её ЭДС
MIT OpenCourseWare. 6.01SC Introduction to Electrical Engineering and Computer Science I, Spring 2011, course notes, ch. 6 «Circuits» — разд. 6.4: узловой метод — по одному уравнению закона токов на каждый узел, кроме земли; для цепи с одним неопорным узлом это одно уравнение, из которого и следует формула Миллмана

Нашли ошибку?