Калькулятор активного фильтра MFB

Как пользоваться

1. Тип фильтра. ФНЧ пропускает частоты ниже среза, ФВЧ — выше, полосовой — узкую полосу вокруг центральной частоты. У полосового фильтра по умолчанию Q = 3: при усилении 1 и C = 10 нФ это наибольшая круглая добротность, при которой все резисторы на 1 кГц остаются в пределах 1…100 кОм.
2. Характеристика (для ФНЧ и ФВЧ). Баттерворт, Бессель или Чебышёв с пульсациями 1 или 3 дБ — тогда вводится частота среза fc, а собственная частота звена f0 и добротность Q берутся из таблиц TI SLOA049D. «Своя добротность Q» — вводятся f0 и Q напрямую: так рассчитывают звенья фильтров высокого порядка. У полосового фильтра задаются центральная частота fm и добротность Q = fm / полоса.
3. Усиление. Модуль усиления в полосе пропускания (у полосового — на центральной частоте). Звено инвертирует сигнал: на выходе −K.
4. Конденсаторы. У ФНЧ задайте C1; C2 калькулятор подберёт сам — наименьший из ряда конденсаторов, при котором схема реализуема, — или введите свой. У ФВЧ задаётся C1 = C3, а C2 = C1 / K определяет усиление. У полосового оба конденсатора одинаковые.
5. ОУ. Если ввести GBW выбранного ОУ, калькулятор сравнит его с требованиями и нарисует АЧХ с этим ОУ рядом с идеальной. Размах выходного сигнала нужен для расчёта скорости нарастания.

Резисторы подбираются из выбранного ряда: калькулятор перебирает по три соседних значения ряда вниз и вверх для каждого резистора и оставляет комбинацию, у которой наибольшее из отклонений частоты, добротности и усиления меньше всего. Ниже результата — схема с номиналами и АЧХ.

Как считается

Звено описывается собственной частотой f0, добротностью Q и усилением K. Обозначения элементов — как в главе 16 руководства TI SLOD006B (рис. 16-19, 16-29 и 16-34); у ADI в MT-220 те же схемы с другими номерами.

ФНЧ. Вход через R1 приходит на узел, от которого C2 идёт на общий провод, R2 — к выходу ОУ, R3 — к инвертирующему входу; C1 включён между выходом и инвертирующим входом. При выбранных C1 и C2 (SLOD006B, разд. 16.3.2.2, коэффициенты a₁ = 1/Q, b₁ = 1 при нормировке на f0):

Обратная проверка — по передаточной функции из SLOA049D (ур. 22): $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{R_2 R_3 C_1 C_2})$, $Q = \sqrt{R_2 R_3 C_1 C_2}\,/\,\bigl(C_1 (R_2 + R_3 + R_2 R_3 / R_1)\bigr)$, K = R₂/R₁. У квадратного уравнения два корня; TI берёт корень со знаком «минус», второй даёт ту же АЧХ с бо́льшим R2 и меньшим R3 — калькулятор показывает и его. ADI (MT-220) сразу задаёт C₂ = 4Q²(1 + K)C₁ — ровно минимум TI, при котором оба корня совпадают; при таком C2 формулы двух компаний дают одни и те же резисторы.

ФВЧ. Резисторы и конденсаторы меняются местами: вход через C1 приходит на узел, от которого R2 идёт на общий провод, C2 — к выходу, C3 — к инвертирующему входу, а R1 включён между выходом и инвертирующим входом. При C1 = C3 = C (SLOD006B, разд. 16.4.2.2):

Усиление задаёт отношение конденсаторов, поэтому калькулятор округляет C2 = C/K до ряда конденсаторов и предупреждает, если усиление из-за этого изменилось. Формулы MT-220 для ФВЧ дают те же R1 и R2. Частота среза ФВЧ из таблиц фильтров — fc = f0 / FSF: ФВЧ получается из ФНЧ заменой s на 1/s с теми же коэффициентами (SLOD006B, разд. 16.4).

Полосовой фильтр. Вход через R1, R3 с узла на общий провод, два одинаковых конденсатора C — с узла к выходу и к инвертирующему входу, R2 — между выходом и инвертирующим входом (SLOD006B, разд. 16.5.1.2):

Здесь A_m — модуль усиления на центральной частоте; он должен быть меньше 2Q², иначе R3 получается отрицательным. Ширина полосы f_m/Q и усиление не зависят от R3, поэтому R3 подстраивает частоту, не меняя полосы (там же). ADI задаёт то же звено через H = A₀/Q: R1 = 1/(H·k), R2 = 1/((2Q − H)·k), R5 = 2Q/k, k = 2π·F0·C (MT-218, MT-220) — это те же три резистора.

АЧХ калькулятор считает не по готовой формуле, а узловым анализом схемы с выбранными номиналами — так проверяются и сами формулы: модуль усиления на f0 равен K·Q у ФНЧ и ФВЧ и Am у полосового. Кривая «с ОУ» — тот же анализ с ОУ, у которого усиление падает с частотой как у звена первого порядка: A(f) = A₀ / (1 + j·f·A₀/GBW), A₀ = 100 дБ. Это модель калькулятора, а не данные конкретного ОУ.

Пример: ФНЧ Баттерворта 1 кГц

Это значения калькулятора по умолчанию и пример из статьи «Аналоговые фильтры»: ФНЧ Баттерворта второго порядка на 1 кГц с усилением −1. Для звена Баттерворта f0 = fc и Q = 0,7071 (SLOA049D, табл. 9-1).

1. C1 = 10 нФ. Условие даёт C2 ≥ 4 · 0,7071² · 2 · 10 нФ = 40 нФ; наименьший конденсатор ряда E12 не меньше этого — 47 нФ.
2. R2 = R1 = 6,91 кОм, R3 = 7,80 кОм. Второй корень — 15,6 и 3,46 кОм; номиналы около него, 15,4 и 3,48 кОм, TI приводит в таблице примеров (SLOA049D, табл. 10-2).
3. Ближайшие значения ряда E96 — 6,98 и 7,87 кОм — дают 990,5 Гц (−0,95 %) и Q = 0,7072. Калькулятор находит комбинацию точнее: 6,81, 6,81 и 7,87 кОм — 1002,8 Гц (+0,28 %) и Q = 0,7038 (−0,46 %).

Если нужно усиление −10, C2 должен быть не меньше 220 нФ — это ровно значение ряда, и оба корня совпадают: R1 = 1,12 кОм, R2 = 11,2 кОм, R3 = 1,03 кОм. ОУ для такого звена по правилу TI нужен с GBW от 1 МГц, по правилу ADI — от 71 кГц.

Пример TI: полосовой фильтр 1 кГц, Q = 10

Пример 16-5 из SLOD006B: центральная частота 1 кГц, добротность 10, усиление −2, C = 100 нФ. Формулы дают R2 = 31,8 кОм, R1 = 7,96 кОм, R3 = 80,4 Ом. С номиналами E96 31,6 кОм, 7,87 кОм и 80,6 Ом центральная частота 1002 Гц, Q = 9,95, усиление 2,008. Калькулятор предупредит, что R3 меньше 1 кОм — по рекомендации TI (SLOD006B, разд. 16.8.3) резисторы лучше держать в пределах 1…100 кОм; для этого уменьшите C в несколько раз.

В разделе 16.5.2 того же документа два таких звена образуют полосовой фильтр четвёртого порядка. R1 и R2 калькулятор повторяет (46,7 и 16,5 кОм, 43,5 и 15,4 кОм), а R3 у него 58,5 и 54,6 Ом, тогда как в документе напечатано 58,1 и 54,2 Ом: при подстановке в знаменатель 2Q² − A_m там взято +1,415 вместо −1,415. Формула и пример 16-5 соответствуют значениям калькулятора.

Требования к ОУ

Звено MFB использует ОУ как интегратор, поэтому полосы ОУ ему нужно больше, чем звену Sallen-Key с единичным усилением (ADI MT-220). Калькулятор показывает два правила:

• TI (SLOD006B, разд. 16.8.4): собственное усиление ОУ на 40 дБ выше пикового усиления звена, тогда ошибка усиления не больше 1 %. Для ФНЧ: f_T = 100 · K · f_c · k_i при Q ≤ 1, где k_i — отношение частоты −3 дБ звена к частоте среза фильтра (у фильтра второго порядка k_i = 1 для всех типов, хотя собственная частота звена Бесселя в 1,27 раза выше fc), и $f_T = 100 \cdot K \cdot Q f_0 \sqrt{(Q^2 - 0{,}5)/(Q^2 - 0{,}25)}$ при Q > 1. Эти формулы воспроизводят примеры документа: 17 МГц для звена Чебышёва с Q = 8,82 и усилением 2 на 10 кГц и 1,5 МГц для звена Баттерворта с Q = 1,62. Для полосового фильтра и ФВЧ готовых формул в документе нет — калькулятор применяет тот же принцип к отклику на f0 и помечает результат как свою оценку. У полосового звена берётся большее из Am и Q: шумовое усиление звена на центральной частоте — около 2Q², поэтому звено с Q = 5 и усилением 1 требует от ОУ столько же, сколько с усилением 5 (проверено узловым анализом калькулятора).
• ADI (MT-220): усиление ОУ хотя бы на 20 дБ выше отклика звена на резонансной частоте с учётом пика, A₀ = H·Q; для полосового калькулятор тоже берёт max(Am, Q). В примере MT-218 (1 кГц, Q = 10, пик 20 дБ) это 40 дБ на 1 кГц, то есть GBW от 100 кГц.

Если запаса мало, добротность звена растёт — ADI называет это Q enhancement (Basic Linear Design, с. 8.114–8.118); в модели калькулятора при этом и центральная частота уходит вниз. У ФВЧ полоса пропускания сверху всегда ограничена самим ОУ: в модели калькулятора — примерно на GBW / (1 + K). Скорость нарастания для синуса с размахом U на выходе — не меньше π·U·fc (SLOD006B, разд. 16.8.4): 5 В на 100 кГц требуют 1,57 В/мкс.

Типичные ошибки

• Неподходящий C2 у ФНЧ. При C2 меньше 4·Q²·(1 + K)·C1 подкоренное выражение отрицательно и схема с такими конденсаторами не даёт нужной добротности при любых резисторах. С ростом усиления и добротности минимальный C2 быстро растёт: для Q = 1,3 и K = 10 он уже в 74 раза больше C1.
• Конденсаторы X7R. Частота и добротность звена меняются примерно на 0,5 % при изменении любого R или C на 1 % (SLOD006B, разд. 16.8.2); ёмкость X7R уходит на ±15 % по температуре. Для фильтров нужны C0G (NP0) и резисторы 1 % и точнее.
• Слишком маленькие или большие номиналы. Ёмкость меньше 1 нФ сравнима с паразитными ёмкостями, резисторы меньше 1 кОм нагружают выход ОУ, больше 100 кОм — добавляют шум и ошибку от входного тока ОУ (SLOD006B, разд. 16.8.3). Калькулятор предупреждает о выходе за эти пределы.
• Забытая инверсия. Звено MFB переворачивает сигнал. При однополярном питании неинвертирующий вход ОУ подключают не к общему проводу, а к середине питания (SLOD006B, разд. 16.8.1).
• Высокая добротность полосового звена. ADI считает звено MFB надёжным примерно до Q = 20 (MT-218): выше растёт разброс номиналов и требования к ОУ. Узкие фильтры собирают из нескольких звеньев с меньшей добротностью или на схеме с несколькими ОУ.

Расчёт пассивного RC-звена первого порядка — в калькуляторе RC-фильтра, усилительного каскада на ОУ — в калькуляторе усилителя на ОУ. Стандартные ряды номиналов — в калькуляторе рядов E. Определения терминов — в глоссарии: добротность и произведение усиления на полосу.