Перейти к содержанию

Преобразование треугольник — звезда

Три резистора между тремя выводами можно соединить треугольником или звездой. Если подобрать номиналы по формулам, снаружи два варианта неотличимы — и замена одного другим превращает «нерешаемый» мост в обычную смешанную цепь.

Обновлено Редакция GAW

Содержание

Преобразование треугольник — звезда (Δ–Y conversion) — замена трёх резисторов, соединённых треугольником между тремя выводами, на три резистора, соединённых звездой с общей точкой, или обратно. Kuphaldt называет треугольник также π-звеном, а звезду — T-звеном и подчёркивает: если номиналы рассчитаны правильно, по измерениям на выводах A, B и C эти сети не отличить.

Формулы

Из треугольника в звезду: луч, подходящий к выводу, равен произведению двух примыкающих к нему сторон, делённому на сумму всех сторон. Из звезды в треугольник: сторона равна сумме попарных произведений лучей, делённой на противолежащий луч.

Ra=RabRacRab+Rac+Rbc,Rab=RaRb+RbRc+RcRaRcR_a = \frac{R_{ab} R_{ac}}{R_{ab} + R_{ac} + R_{bc}}, \qquad R_{ab} = \frac{R_a R_b + R_b R_c + R_c R_a}{R_c}

Для симметричной сети всё упрощается: звезда из лучей R/3 эквивалентна треугольнику со сторонами R.

Пример: неуравновешенный мост

Мост из учебника Kuphaldt питается от 10 В: в верхней половине R1 = 12 Ом (A–B), R2 = 18 Ом (A–C), между средними точками R3 = 6 Ом (B–C), внизу R4 = 18 Ом и R5 = 12 Ом. Последовательно-параллельной свёрткой такой мост не решить: R3 соединяет средние точки, и ни одна пара резисторов не включена ни последовательно, ни параллельно. Принцип наложения и теорема Миллмана, по Kuphaldt, тоже не помогают, потому что источник питания один. Заменим треугольник R1, R2, R3 звездой (сумма сторон 36 Ом): Ra = 12·18/36 = 6 Ом, Rb = 12·6/36 = 2 Ом, Rc = 18·6/36 = 3 Ом. Цепь стала смешанной: Ra последовательно с параллельными ветвями Rb + R4 = 20 Ом и Rc + R5 = 15 Ом, то есть 6 + 8,57 = 14,57 Ом. Ток источника 0,686 А, на ветвях 5,88 В, ток ветви с R4 — 0,294 А, и напряжение на R4 равно 5,294 В — ровно то, что Kuphaldt получил в SPICE. Напряжение между средними точками моста 5,294 − 4,706 = 0,588 В.

Где встречается

  • Неуравновешенные мостовые схемы — мост Уитстона с тензодатчиками или термометрами сопротивления вне точки баланса.
  • Трёхфазные сети: нагрузка, включённая треугольником, пересчитывается в эквивалентную звезду, и наоборот.
  • Аттенюаторы и согласующие звенья, которые выпускаются в π- и T-вариантах.

Если преобразование не напрашивается, ту же цепь решает метод контурных токов или калькулятор цепей по Кирхгофу.

Частые вопросы

Как перевести треугольник в звезду?

Сопротивление луча звезды, подходящего к выводу, равно произведению двух сторон треугольника, сходящихся в этом выводе, делённому на сумму всех трёх сторон: Ra = Rab·Rac / (Rab + Rac + Rbc). Для равных сторон R луч звезды равен R/3.

Как перевести звезду в треугольник?

Сторона треугольника между двумя выводами равна сумме попарных произведений лучей звезды, делённой на луч, подходящий к третьему выводу: Rab = (RaRb + RbRc + RcRa) / Rc. Для равных лучей R сторона треугольника — 3R.

Зачем нужно преобразование, если есть законы Кирхгофа?

Чтобы свести задачу к последовательным и параллельным соединениям и решить её без системы уравнений. Неуравновешенный мост не сводится к последовательным и параллельным соединениям, а метод наложения и теорема Миллмана тут не помогают — источник питания у моста, как замечает Kuphaldt, один. После замены половины моста звездой он считается в несколько действий. В трёхфазных цепях тот же переход между звездой и треугольником нагрузки делается постоянно.

Источники

  1. Kuphaldt T. R. Lessons In Electric Circuits, Vol. I — DC, ch. 10 «DC Network Analysis», разд. «Δ-Y and Y-Δ conversions» (CC BY) — треугольник (Δ, он же π) и звезда (Y, она же T) — трёхвыводные сети; при правильно подобранных номиналах их нельзя различить измерениями на выводах A, B, C; главное применение — неуравновешенный мост; пример: R1 = 12, R2 = 18, R3 = 6, R4 = 18, R5 = 12 Ом, источник 10 В, SPICE: v(1,2) = 4,706, v(1,3) = 5,294, v(2,3) = 0,5882, v(2) = 5,294, v(3) = 4,706 В; формулы в разделе даны рисунками, значения звезды в примере мы пересчитали по ним сами
  2. Kuphaldt T. R. Lessons In Electric Circuits, Vol. II — AC, ch. 10 «Polyphase AC Circuits», разд. 10.5 «Three-phase Y and Delta configurations» (CC BY) — трёхфазные источники и нагрузки соединяют звездой (Y, star) — с общей точкой — или треугольником (Delta); в DC_10 Kuphaldt отмечает, что в трёхфазных сетях сети Δ и Y обычно симметричны и пересчёт между ними прост

Нашли ошибку?

Смотрите также