Фазор — вектор переменного напряжения

Два переменных напряжения по 6 и 8 В, включённые последовательно, могут дать в сумме 14 В, 2 В или 10 В — смотря как они сдвинуты по фазе. Чтобы такие суммы считались, синусоиду одной частоты изображают вектором или комплексным числом. Этот вектор называют фазором.

Обновлено 26 октября 2026 г.Редакция GAW

Содержание

Зачем: сложение со сдвигом
Две формы записи
Ограничение

Фазор (phasor) — вектор или комплексное число, которым изображают синусоидальное напряжение или ток одной частоты: длина вектора — величина синусоиды, угол — её сдвиг фаз относительно опорной синусоиды, обычно напряжения источника. Kuphaldt называет вектор графическим представлением комплексного числа и пишет, что в электротехнике его называют фазором, когда угол означает сдвиг фаз (гл. 2.1–2.2). Рисунок из нескольких таких векторов — векторная диаграмма.

Запись «24,3 мА при −64°» означает ток величиной 24,3 мА, отстающий на 64° от опорного напряжения. Фаза всегда относительна, как напряжение относительно земли: без опорной синусоиды угол ничего не значит.

Зачем: сложение со сдвигом

Пример Kuphaldt с двумя последовательными источниками 6 и 8 В (гл. 2.3–2.4):

Сдвиг между источниками	Сумма
0°	14 В при 0°
180°	2 В при 180° (или 2 В при 0° с обратной полярностью)
90°	10 В при 53,13°

В последнем случае вольтметры на источниках покажут 6 и 8 В, а на обоих вместе — 10 В: переменные напряжения могут помогать или мешать друг другу в любой степени между полным сложением и полным вычитанием. Перемена выводов источника равносильна сдвигу на 180°. Так же складываются фазные напряжения в трёхфазной сети и напряжения на резисторе, катушке и конденсаторе.

Две формы записи

Форма	Как пишут	Удобна для
Полярная	модуль и угол: 5∠36,87°	умножения и деления
Алгебраическая (прямоугольная)	действительная и мнимая часть: 4 + j3	сложения и вычитания

Перевод: действительная часть — модуль, умноженный на косинус угла, мнимая — на синус; обратно — по теореме Пифагора и арктангенсу мнимой части к действительной (гл. 2.5). В электронике мнимую часть отмечают буквой j, а не i, как в математике; Kuphaldt подчёркивает, что это знак мнимой оси, а не переменная вроде мгновенного тока i. В комплексной форме записывают и импеданс: Keysight изображает его вектором на плоскости, где действительная часть — сопротивление R, мнимая — реактивное сопротивление X, и пишет как R + jX или как модуль и фазовый угол (Impedance Measurement Handbook, разд. 1). Посчитать импеданс цепи можно калькулятором.

Ограничение

Фазор описывает только одну частоту. Напряжения разных частот, например основную и гармоники, нельзя складывать как комплексные числа: комплексное число хранит величину и фазу, но не частоту (Kuphaldt, гл. 7.5). Такие цепи считают для каждой частоты отдельно и складывают методом наложения. Обзор — в статье «Переменный ток».

Частые вопросы

Почему 6 В и 8 В в сумме дают 10 В?

Если эти переменные напряжения сдвинуты на 90°, их нужно складывать как векторы, а не как числа: √(6² + 8²) = 10 В, и сумма сдвинута на 53,13° относительно первого. Это пример Kuphaldt: вольтметры на двух источниках покажут 6 и 8 В, а на обоих вместе — 10 В.

Когда удобна полярная форма, а когда алгебраическая?

Складывать и вычитать проще в алгебраической форме (a + jb): действительные и мнимые части складываются отдельно. Умножать и делить проще в полярной (модуль∠угол): модули перемножаются, углы складываются (Kuphaldt, гл. 2.5).

Можно ли нарисовать на одной векторной диаграмме сигналы разных частот?

Нет. Комплексное число хранит только величину и фазу, а частоту — нет, поэтому напряжения разных частот нельзя складывать в комплексной форме (Kuphaldt, гл. 7.5). Цепь считают для каждой частоты отдельно и складывают результаты методом наложения.

Источники

Kuphaldt T. R. Lessons In Electric Circuits, Vol. II — AC, 6th ed. (2021), гл. 2, 7.5, CC BY — гл. 2.1 (с. 27–30): вектор — графическое представление комплексного числа, в электротехнике его называют фазором, когда угол означает сдвиг фаз; гл. 2.2 (с. 30–32, рис. 2.7–2.9): длина — величина синусоиды, угол — фаза относительно опорной, обычно напряжения источника; пример «24,3 мА при −64°» — ток отстаёт на 64°; гл. 2.3 (с. 32–35, рис. 2.10–2.16): 6 В + 8 В при одной фазе — 14 В, при 180° — 2 В; перемена выводов источника равна сдвигу на 180°; гл. 2.4 (с. 35–37, рис. 2.17–2.18): 6 В при 0° плюс 8 В при 90° — 10 В при 53,13°, вольтметры покажут 6, 8 и 10 В; гл. 2.5 (с. 37–42, рис. 2.19–2.24): полярная форма (модуль и угол) и алгебраическая (действительная и мнимая часть с j); 5∠36,87° = 4 + j3; сложение — в алгебраической форме, умножение и деление — в полярной; гл. 7.5 (с. 189): напряжения разных частот нельзя складывать как комплексные числа
Keysight. Impedance Measurement Handbook, 6th ed. (5950-3000) — разд. 1, рис. 1-1: импеданс — комплексная величина на векторной плоскости, действительная часть — сопротивление R, мнимая — реактивное сопротивление X; запись R + jX или модуль и фазовый угол; проводимость Y = 1/Z = G + jB

Нашли ошибку?